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1、增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。在科学发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求数量关系Q（K，L）。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：Q（K，L）=aKαLβ,0<α,β<1(*)式中α,β，a要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个
2、经济指数的统计数据，如表1，试用数据拟合的方法，求出（*）式中的参数α,β，a。表1TQKLTQKL19001.051.041.0519131.952.821.6819011.181.061.0819142.013.241.6519021.291.161.1819152.003.241.6219031.301.221.2219162.093.611.8619041.301.271.1719171.964.101.9319051.421.371.3019182.204.361.9619061.501.441.3919192.124.771.9519071.521.53
3、1.4719202.164.751.9019081.461.571.3719212.084.541.5819091.602.051.4319222.244.541.6719101.692.511.5819232.564.581.8219111.812.631.5919242.344.581.6019121.932.741.6619252.454.581.6119262.584.541.64第一种方法：由于产值Q、资金K、劳动力L之间满足著名的Cobb-Douglas生产函数关系：Q（K，L）=aKαLβ,0<α,β<1我们可以用MATLAB软件中的curvefit(
4、)程序来作数据拟合，即寻求函数Q(K，L)中的未知参数a,α,β，使这个函数尽量逼近表1所给出的统计数据。现在我们就根据curvefit()函数编以下程序程序文件a1.m如下a=[1.051.181.291.301.301.421.501.521.461.601.691.811.931.952.012.002.091.962.202.122.162.082.242.562.342.452.58];y=[1.041.061.161.221.271.371.441.531.572.052.512.632.742.823.243.243.614.104.364.774.7
5、54.544.544.584.584.584.54;1.051.081.181.221.171.301.391.471.311.431.581.591.661.681.651.621.861.931.961.951.901.581.671.821.601.611.64];x0=[0.1,0.1,0.2];x=curvefit('curvefun',x0,y,a)其中的函数M——文件curvefun.m如下functiona=curvefun(x,y)a=x(1)*(y(1,:).^x(2)).*(y(2,:).^x(3));运行a1.m可得以下结果x=1.22460
6、.4612-0.1277则可以得到a=1.2246b=0.4612c=-0.1277于是公式变为Q(K,L)=1.2246K0.4612L-0.1277这就是产值Q随资金K、劳动力L的变化规律。如果想得到更直观的关系也可以画出他们之间的关系图形。在a1.m中加如下命令m=linspace(0,2.7,27);n=linspace(0,2.7,27);[M,N]=meshgrid(m,n);a=x(1)*(M.^x(2)).*(N.^x(3));surf(M,N,a);xlabel('K'),ylabel('L'),zlabel('Q')们知道以上用的MATLAB的c
7、onvefit()函数，可以根据需要创建各自的函数去逼近已知数据。而不象函数polyfit()是用多项式去逼近已知数据。但是用convefit()必须先确定函数的形式，然后再确定参数。所以有一个确定函数的过程，本题由于在经济学上已经知道产值Q、资金K、劳动力L之间满足著名的Cobb-Douglas生产函数关系，因此就省略了机理分析确定函数形式的这个过程。若实际问题的机理不清楚，或太复杂，就需要我们自己去假设，去大致确定。用polyfit()就没有以上麻烦的步骤（因为他有确定的形式，只需要确定未知参数）。但正因为这样简单，决定了他解决问题的粗躁性。但有一点可以知道
