九年级数学上册专题突破讲练-《相似三角形的性质》试题新版青岛版

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1、相似三角形的性质相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等；2.相似三角形的对应边成比例；3.相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长的比等于相似比。方法归纳：（或技巧归纳）当你发现问题中出现以下情况时，很可能是借助相似来解决：①比或比例；示例：平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：EF=_________．解析：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．答案：3：2解：∵DE：EC=1：2；∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3，∵AB∥CD

2、，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．②线段的积；示例：四边形中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，求证：解析：由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等。示例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=

3、4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为_________．8解析：本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想．解决此题需要我们利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算．答案：解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，根据勾股定理得：BC=3，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴BD=，∠BDE=90°，又∵∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：BE，又BC=3，AB=5，∴BE=，从而得到CE=BE—BC=．总结：1.掌握相似三角形的

4、性质；2.能利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度、线段之间的关系等。例题1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）。若△CEF与△ABC相似。（1）当AC＝BC＝2时，求AD的长；（2）当AC＝3，BC＝4时，求AD的长。解析：若△CEF与△ABC相似。（1）当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形；（2）当AC＝3，BC＝4时，分两种情况：（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；（II）若CF：CE＝

5、3：4，如答图3所示。由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A＝∠ECD与∠B＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D点为AB的中点。答案：若△CEF与△ABC相似。（1）当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示。此时D为AB边中点，2AD2＝AC2，∴AD＝AC＝。（2）当AC＝3，BC＝4时，有两种情况：（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示。8∵CE：CF＝AC：BC，∴EF∥BC。由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高。在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5。∵∠A

6、DC＝∠ACB＝90°且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝；（II）若CF：CE＝3：4，如答图3所示。∵△CFE∽△CAB，∴∠CEF＝∠B。由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD。同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此时AD＝AB＝。综上所述，当AC＝3，BC＝4时，AD的长为或。点拨：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质。第（2）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意。利用相似三角形的性质求线段的长度

7、是一类常见问题，常常综合考查勾股定理、等腰三角形、四边形等知识，特别是在中考试题中经常以压轴题的形式出现，有时难度较大。解答这类问题时通常利用相似三角形对应边成比例或勾股定理等列方程，用代数方法求线段的长度。满分训练如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F。现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1。若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝__________。解析：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝

8、＝＝8，设AD＝2x，∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，∴AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，∵DF⊥AB，∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC＝DF：BC，即2x：8＝DF