九年级数学上册专题突破讲练-《构造相似三角形解题》试题新版青岛版

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1、构造相似三角形解题构造相似三角形的基本方法1.由平行得相似，如图①和②；2.由同角或等角得相似，如图③；3.由垂直得相似，如图④。方法归纳：在较为复杂的图形中，我们一般通过特殊图形（如等腰三角形、平行四边形、圆等）的边或角构造相似三角形，如需添加辅助线，应考虑添加辅助线后能构成相等的角或比例线段，如：过中点（或等分点）作平行线，过某点作平行或垂直等。总结：1.学会构造相似三角形的方法和技巧，能熟练地将边和角划分到相关的相似三角形中。2.能够综合运用相似三角形的判定和性质解决较为复杂的问题。例题如图所示，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG∶DF∶CE＝

2、（）A.1∶1∶1B.1∶2∶1C.1∶∶D.1∶∶1解析：不难证明△ABG≌△CBE，所以AG＝CE。那么，本题只要求AG∶DF即可。要求AG和DF的比需要构造一个含有这两条线段的相似三角形，并且这对相似三角形的相似比要能求出来。在正方形中，边长和对角线的比是可求的，所以本题可试着连接BF和BD，通过三角形相似来求解。答案：连接BF、BD。因为∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝∠ABE－90°，∠CBE＝∠ABE－∠ABC＝∠ABE－90°。所以∠ABG＝∠CBE，又AB＝BC，BG＝BE，所以△ABG≌△CBE，所以AG＝CE。因为∠DBF＝∠ABE－∠AB

3、D－∠EBF＝∠ABE－45°－45°＝∠ABE－90°，所以∠DBF＝∠ABG。又因为所有正方形都相似，所以这两个正方形的对角线的比BD∶BF、边长的比AB∶BG，都等于这两个正方形的相似比，即BD∶BF＝AB∶BG，所以AB∶BD＝BG∶BF，所以△ABG∽△DBF。所以AG∶DF＝BG∶BF＝1∶。所以AG∶DF∶CE＝1∶∶1。故选D。9点拨：本题难度大，特别是确定AG和DF的关系是一大难点。解答这类难题，我们束手无策时，一定要展开联想，寻找问题的突破口。如：线段的比往往要通过相似形来求；四边形常常要连接对角线；两个正方形变换形成的三角形中可能有全等

4、三角形；正方形边长和对角线的比是1∶。利用相似三角形求线段的比例关系时，有些题目根本无法将所求线段构造成相似三角形的对应线段，此类问题通常用如下的方法过渡：再构造一个与之相似的三角形，利用相似三角形的传递性解题；把不能划分到相关相似三角形中的线段进行等量代换等。例题如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F。（1）如图①，当＝时，求的值；（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG。解析：（1）利用相似三角形的性质

5、求得EF与DF的比值，因为△CEF和△CDF同高，所以其面积的比就是EF与DF的比值；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF＝∠AFD，可以证得AD＝AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可求得AD＝OA，从而得出AF＝OA；（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可得证。答案：（1）解：∵＝，∴＝。∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△CEF∽△ADF，∴＝，∴＝＝，∴＝＝。（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF＝∠CDF，又∵AC、BD是正

6、方形ABCD的对角线。∴∠ADO＝∠FCD＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，而∠ADF＝∠ADO＋∠ODF，∠AFD＝∠FCD＋∠CDF，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD＝＝OA，∴AF＝OA。（3）证明：连接OE，9∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点。∴点O是BD的中点。又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE＝CD，∴△OFE∽△CFD。∴＝＝，∴＝。又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴＝＝。在直角△FGC中，∵∠GCF＝45°，∴CG＝G

7、F，又∵CD＝BC，∴＝＝，∴＝。∴CG＝BG。点拨：本题是勾股定理、三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键。（答题时间：45分钟）一、选择题*1.如图所示，已知AD∥EF∥BC，若AD∶EF∶BC＝1∶2∶4，则梯形AEFD与梯形EBCF的面积之比为（）A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3*2.如图，正方形ABCD的边长为1，M、N为BD所在直线上的两点，且AM＝，∠MAN＝135°，则四边形AMCN的面积为（）A.B.2C.D.3**3.如图所示，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN

8、交AC于P、Q两点，则AP∶PQ∶QC＝（）A.1∶