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1、Bezier曲线的拼接及其连续性组员：栗周亚（主讲）樊凯葛序理牛辰光顾超锋尹顺源Bezier曲线由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bézier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法。Bézier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。Bezier曲线是通过一组多边折线的各顶点唯一的定义出来的。在多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用以定义曲线的阶次和形状。多
2、边折线称为特征多边形，其顶点称为控制点。Bézier曲线示例Bézier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致形状的勾画；P(t)是对P0P1…Pn的逼近；Pi表示特征多边形的n+1个顶点的位置向量，是波恩斯坦多项式，Bernstein基函数具有如下形式：注意：当i=0，t=0时，ti=1，i!=1。1.Bezier曲线的定义1．一次Bezier曲线(n=1)一次多项式，两个控制点这是一条连接起点和终点的直线段1．一次Bezier曲线(n=1)一次多项式，两个控制点这是
3、一条连接起点和终点的直线段2．二次Bezier曲线(n=2)二次多项式，三个控制点令说明二次Bezier曲线为抛物线。二次Bézier曲线图示二次Bezier曲线的三条调和函数二次Bezier曲线代码：m-文件函数：functionbezier2(p0,p1,p2)t=0:0.001:1;x=(p2(1)-2*p1(1)+p0(1))*t.^2+2*(p1(1)-p0(1))*t+p0(1);y=(p2(2)-2*p1(2)+p0(2))*t.^2+2*(p1(2)-p0(2))*t+p0(2);plot([p0(1
4、)p1(1)p2(1)],[p0(2)p1(2)p2(2)],'b'),holdonplot(x,y,'r');执行：>>bezier2([1,3],[4,18],[7,6])2Bezier曲线的性质（1）端点Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。（2）一阶导数起始点：终止点：（3）对称性保持n次Bezier曲线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。（4）凸包性由于所以当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，Q(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图
5、形上，意味着Bézier曲线Q(t)在中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中；(5)几何不变性曲线的形状仅与特征多边形各顶点的相对位置有关，而与坐标系的选择无关。三次Bezier曲线的插值插值要求得到的曲线精确的通过采样点，四个控制点决定一条Bezier曲线，插值M个点(M>4)设计到曲线拼接连续性的问题，要求达到切线连续。三次Bezier曲线的数学表达是为：三次Bezier曲线的结构【算法】Step1：已知采样点，两端各自增加一个虚拟控制点，分别求出的中点Step2：分别求出的中点。Step3
6、：将沿着的方向移到，对应的移到。Step4：保持点不变收缩线段到，且。记为，为。Step5：分别以为4个控制点按照（1）式画出一条三次的Bezier曲线，得到的Bezier曲线插值于每一个采样点且分片一次连续。算法的示意图三次Bezier曲线代码：functionbezier3(p0,p1,p2,p3)t=0:0.001:1;x=(1-t).^3*p0(1)+3*t.*(1-t).^2*p1(1)+3*t.^2.*(1-t)*p2(1)+t.^3*p3(1);y=(1-t).^3*p0(2)+3*t.*(1-t).^
7、2*p1(2)+3*t.^2.*(1-t)*p2(2)+t.^3*p3(2);plot([p0(1)p1(1)p2(1)p3(1)],[p0(2)p1(2)p2(2)p3(2)],'b');holdon;plot(x,y,'r');执行：>>bezier3([0,3],[5,20],[7,2],[9,1])Bezier曲线的拼接拼接不要求曲线通过每一个采样点，只要求曲线“很接近”采样点就行。“很接近”的评价标准常为最小平法逼近。拼接的一般步骤：设采样点为，拼接的Bezier曲线为Step1：将参数化到[0,1]区间上
8、的值，即求。常采用弦长参数法Step2：对每一段三次的Bezier曲线，有最小，需要求每一段Bezier曲线的控制点。按照这种算法需要反求控制顶点，随着数据采集量的增大，计算量成倍增长，且反求控制点的矩阵若为病态矩阵，则求解更耗时间，拼接的结果也不尽人意。4.C1的二次B样条闭曲线馒头B样条曲线代码：functionByangtiao8(p)t
