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《8.2Bezier曲线拼接及升降阶》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、四、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难np(t)=åPiBi,n(t)tÎ[0,1]i=0iin-iB(t)=t(1-t)(i=0,1,....n)i,nCnPDFpdfFactorywww.fineprint.cn采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件PDFpdfFactorywww.fineprint.cn给定两条Bezier曲
2、线P(t)和Q(t)，相应控制点为P(i=0,1,...,n)和Q(i=0,1,...,m)iiPDFpdfFactorywww.fineprint.cn（1）要使它们达到G0连续，则：P=Qn0（2）要使它们达到G1连续，只要保证P，P=Q，Q三点共n-1n1线就行了Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致PDFpdfFactorywww.fineprint.cn五、Bezier曲线的升阶与降阶假设有一个二次多项式：a+at+at=0012能否找一个三次多项式近
3、似逼近这个二次多项式，或精确地转成一个三次多项式？PDFpdfFactorywww.fineprint.cn2a+at+at=001223a+at+at+0*t=0012所谓升阶就是保证曲线的形状和定向保持不变，但是要增加顶点个数伯恩斯坦基函数不是简单的t2、t3，2次Bezier基函数是Bi,2，3次是B，如何从B转化成B的形式？i,3i,2i,3PDFpdfFactorywww.fineprint.cn1、Bezier曲线的升阶所谓升阶是指保持Bezier曲线的形状与方向不变，增加定义它的控制顶点数，即
4、提高该Bezier曲线的次数设给定原始控制顶点p,p..p，定义一条n次Bezier曲线01nnP(t)=åPiBi,n(t)tÎ[0,1]i=0PDFpdfFactorywww.fineprint.cn增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为P*,P*,...,P*，则有：01n+1*P2P2P1**P3P1**P0=P0P3=P4PDFpdfFactorywww.fineprint.cnnn+1iin-ii*in+1-iåCnPit(1-t)=åCn+1Pit(1-t)i=0i=0*iii-1PC
5、=PC+PCin+1ini-1n*iæiö化简即得：Pi=Pi-1+ç1-÷Pi(i=0,1,L,n+1)n+1èn+1øPDFpdfFactorywww.fineprint.cn三次Bezier曲线的升阶实例如下图所示：*P2P2P1**P3P1**P0=P0P3=P4新的多边形更加靠近曲线。在80年代初，有人证明如果一直升阶升下去的话，控制多边形收敛于这条曲线PDFpdfFactorywww.fineprint.cn2、Bezier曲线的降阶降阶是升阶的逆过程232a+at+at+at=b+bt+bt0
6、123012如果a不等于0，想找一个二次多项式精确等于它是不可3能的。如果一定要降下来，那只能近似逼近PDFpdfFactorywww.fineprint.cn如果把at3扔掉，也不是不可以，但误差太大。必须想办3法找到一个二次多项式，尽量逼近这个三次多项式PDFpdfFactorywww.fineprint.cn假定P是由P*升阶得到，则由升阶公式有：iin-i*i*P=P+Piii-1nn从这个方程可以导出两个递推公式：*nP-iPP*=ii-1i=0,1,L,n-1in-i**nPi-(n-i)PiP
7、=i=n,n-1,L,1i-1i可以综合利用上面两个式子进行降解，但仍然不精确PDFpdfFactorywww.fineprint.cnBezier曲线曲面升降阶的重要性第一它是CAD系统之间数据传递与交换的需要第二它是系统中分段(片)线性逼近的需要．通过逐次降阶，把曲面化为直线平面，便于求交和曲面绘制第三它是外形信息压缩的需要。降阶处理以后可以减少存储的信息量PDFpdfFactorywww.fineprint.cn
