通信过程中的随机过程

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1、第一章复习题1.在掷骰子实验中，用1,2,3,4,5,6来标注正六面体的六个面，则样本空间.定义事件，，试求和.解:2.袋中有4个球，其中有两个白球标有序号1和2，记为和，两个黑球标有3和4，记为和，事件、、定义如下：（事件“白球被选中”）（事件“标号为偶数的球被选中”）（事件“标号大于2的球被选中”）试求和.解，由定义知，3.袋中有4个球，其中有两个白球标有序号1和2，记为和，两个黑球标有3和4，记为和，事件、、定义如下：（事件“白球被选中”）（事件“标号为偶数的球被选中”）（事件“标号大于2的球被选中”）试判断事件和是否独立？事件和是否独立？解由

2、，知所以事件和互相独立。由于事件的概率为，事件的概率为，所以也即事件和不互相独立。4.设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为和，试分别求信道输出0和1的概率.解信道的错误概率为意味着，因此。由全概率公式知同理1.设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为和,试求在输出是1的条件下输入是1的概率，以及输出是0的条件下输入是1的概率.解由Bayes公式知同理，可求得2.某通信网可以支持三种类别的业务。一个业务为第1类业务的概率是0.3，为第2类业务的概

3、率为0.2，为第3类业务的概率是0.5.对于第1类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.1；对于第2类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.15；对于第1类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.2。试求该通信网中任何一个业务发生阻塞的概率。解用，，分别表示“第一个业务是第1、2、3类业务”这个事件。用表示“第一个业务发生阻塞”这个事件，这样3.设事件和的概率分别为和，试分别在下列条件下求：1）和独立2）和互斥解：由于事件和独立，事件的概率为由于事件和互斥，事件的概率为4.已知集合，试给出三个定义于集合上的Borel集。解显然和和5.证明若，则证明因为

4、所以，即，得到，所以第二章复习题1.在通信系统中，一条消息的传输时间是一个随机变量，它遵循指数概率分布律，也即，其中是一个正常数。试求的概率分布函数和概率密度函数，并求出。解的概率分布函数为，因此的概率密度函数为此外2.在排队系统中，一个到达顾客的等待时间是一个随机变量。若系统中无其他等待顾客，则等待时间为0；若系统中有其他顾客，则等待时间是一个参数为的指数分布。设系统中有顾客等待和无顾客等待的概率分别为和。试求的概率分布函数和概率密度函数。解：顾客等待时间的概率分布函数为其中和分别表示系统中无顾客等待和有顾客等待，则由题意知概率分布函数为概率密度函

5、数为1.试证明概率密度函数为的正态随机变量的均值为，方差为 。解由概率密度函数的性质知有如下式成立：（1）将（1）式对求导，得由此知道，该正态随机变量的均值为。再对（1）关于求导得从而可得2.试根据正态随机变量的概率特征函数求其均值和方差。解正态随机变量的特征函数为计算有，。所以3.设是一个参数为的Bernuoulli的随机变量，，，试求改随机变量的熵。解：根据熵的定义知道，改随机变量的熵为4.已知指数分布随机变量的概率密度函数为，，其中为正常数。试求指数分布的熵。解1.试求均值为、方差为的Gauss随机变量的熵。解由熵的定义知道2.某二维随机向量的

6、联合概率分布函数为其中和是两个正常数。试计算下面三个事件的概率：，，和为两个正数，。解由联合概率分布函数的性质知3.设和独立同分布的标准正态随机变量，令，，其中，，试求的联合概率密度函数和边界概率密度函数。解令，，得到，，因为和的联合概率密度函数为因此，的联合概率分布函数为对上述积分做变量变换，并对和求导得，，1.设二维离散型随机向量的样本空间为且每个样本点所对应的单点事件的概率都是1/4,试求该随机向量的联合熵解该随机向量的联合熵为2.试证明：随机变量和的相关矩满足下列Schwartz不等式：等号成立当且仅当成立，其中是实数。证明对任意实数有下面的

7、不等式成立因此，该关于变量的二次多项式的判别式小于等于零，也即有从而可以导出Schwartz不等式。3.设有某个简单通信系统的输入电压是离散型随机变量，取值为+1,-1，且；系统的输出电压是随机变量，其中是一个噪声电压，是在上均匀分布的随机变量。试求概率和。解由条件概率的定义知道，因此其中是上的均匀分布，所以1.已知某二维随机向量的联合概率密度函数有如下形式：试确定上式中常数的取值，并求条件概率密度函数和。解由概率密度函数在全空间的积分为1知因此，为了得到条件概率密度函数的表达式，先求边界概率密度函数，即，，所以，，2.已知二维随机向量是区域上的均匀

8、分布，试求和。解可以求得二维随机向量的概率密度函数为进一步求得其边界概率密度函数为，所以求得其条件概率密度函