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1、第二讲非线性规划模型一、非线性规划引例例1路灯照度问题在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何使得路面上最暗和最亮的点的位置？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果将如何？(只是涉及非线性规划的案例以及其解的相关概念，不涉及具体算法)1图2-1osxP1P2h1h2r1r2[分析]如图2-1，P1,P2表示两只灯的功率；离地面的高度为h1,h2；两只灯的距
2、离为s；假设两只灯发出的光都可以看成点光源。[预备知识]光源点P1在点x处的照度I1，I1与功率P1成正例，与距离r1的平方成反比，与照射角度α1的正弦成正比。即其中，k为比例系数，同时也是平衡量纲（单位）的量。2解所有的变量设置如图2-1所示两只灯在点x处的照度为其中，变量之间的关系这个公式只是适合点光源，如果不是点光源（比如竖着的日光灯，该怎么办？？3问题一：灯高度不变，求路面照度最弱最强的位置x。数学模型1s.t.也可以化简为4代入已知参数，模型简化为即求一元函数I(x)在[0，20]上的最大值与最小值。5问题2：当3kw的灯的高度在3m到9m
3、之间变化时，路面的最暗和最亮点。数学模型2即求二元函数I(x,h2)在所给条件下的上的最大值与最小值。6问题3：两只灯的高度都在3m到9m之间变化时，求路面的最暗和最亮点。数学模型3即求三元函数I(x,h1,h2)在所给条件下的上的最大值与最小值。像这种目标函数或者约束条件是决策变量的非一次（非线性）的规划问题，称为非线性规划模型。7二、非线性规划模型在建立规划模型时，若目标函数中决策变量或者约束方程（不等式）中某些变量为非一次（不是线性），则称建立的数学模型为非线性规划模型。其数学模型一般为若1、非线性规划模型《1》82、非线性规划问题的解的相关概
4、念一般来说，非线性规划的求解，比线性规划的求解困难得多。线性规划有统一的单纯形求解方法，而非线性规划目前还没有统一的一般算法。1.1可行集（可行域）给定非线性规划问题《1》《1》如果《1》中m=0，表示没有约束，称为无约束优化问题，否则就是一般意义上的非线性规划模型。9若x满足《1》的约束条件，则称x为《1》的一个可行解。所有可行解的集合称为可行域（或可行集），记1.2局部极小点（局部最优解）对于非线性规划《1》，若存在，且对一切满足（即x为x*附近的点），都有则称x*为f(x)在D上的局部极小点（局部最优解）。10当时，若，则称x*为f(x)在D上
5、的严格局部最优解。1.3全局最优解（全局极小值点）对于非线性规划《1》，若存在，且对一切都有则称x*为f(x)在D上的全局极小点（全局局最优解）。注意：局部最优和全局最优实际就是高数中的极值与最值问题。11xy=f(x)0abx1x2x3x4x5x6x1,x3,x5为f(x)的局部极小值点；x2,x4,x6为f(x)的局部极大值点；x4为全局最大值点；x3是全局最小值点。123、非线性规划的图解法例2利用图解法，求解如下非线性规划问题[分析]：决策变量为x=(x1,x2)T。目标函数表示决策变ｘ=(x1,x2)T到点(2,1)T的距离的平方（体现为圆
6、周半径变化）；第一个约束是一条抛物线（开口朝左,x1为横轴）；第二个约束为直线；同时决策变量非负。13解以x1和x2分别为横轴和纵轴，建立直角坐标系，如图2-2：（1）绘制约束曲线（2）标出可行域：图2-214x1x20(右上)2.5(在抛物线上)12ABCD15（3）绘制目标函数曲线该问题的目标曲线是圆，以(2,1)T为圆心，半径随着(x1,x2)T变化而变化，当半径达到最小，则目标函数也达到最小。让目标曲线随着目标意愿变化，本题的全局最优点是D(4,1)，如图所示。另外，B(2.9104,4.3275)T是局部最小点（严格局部最优解）;目标函数的
7、最大点是A(0,5),C(2.5,2.5)点是局部最大点。164.1线性规划问题的最优解一定在可行域的边界的顶点处达到，任何一个最优解，就是全局最优解。4.2非线性规划的最优解可以在可行域内任何一点处达到，非线性规划求解出来的只是局部最优解。所以在针对非线性规划求解时，具体问题，有具体的搜索最优解的方法，一般注意：4、建立规划模型的注意点（1）尽可能给出靠近全局最优解附近的初始可行解；（2）尽可能给出每个决策分量的比较准确的上下界；（3）能够线性化的表达式，尽量线性化；（4）尽量每个表达式连续可导（起码二阶）；（5）非线性规划每次求解结果不一定相同。
8、174.3在建立规划模型时，尽量做到：1、尽量用线性代替非线性；2、尽量用连续函数，若遇到分段函数，尽可能连
