第4讲+非线性规划

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1、第四节非线性规划模型的解•二次插值法•最速下降法•罚函数法非线性规划模型的一般形式：一、无约束模型:二、有约束模型：则称为局部最优解，或局部解；则称为整体最优解，或最优解或解一、无约束模型的解沿某直线方向求目标函数的极小值点，称为一维搜索。高维问题可通过一系列的一维搜索，求出其近似最优解。一维搜索沿某些方向作一维搜索化为无约束问题讨论顺序：1.一维搜索（二次插值法）单峰函数或过三点作抛物线：有故方程组有唯一解，且即抛物线的开口向上。令得极小值点再从中选出满足前面不等式的三点，重复前面的过程，直到满足终止条件：则注：迭代时，若出现退化情形可取继续迭代。#2.最速下降法f(

2、X)D=－f(X)第1步求新点设f(X)可微，给定初始点X1,>0,每次沿使f下降得最快的负梯度方向D=－f(X)搜索，直到满足终止条件为止。第k次迭代令注意：k不是步长（因Dk不是单位向量），且非负（否则，不是下降得最快的方向）。得新点设已得Xk第2步验证终止条件否则，将Xk+1作为新的出发点，作为新的迭代方向，进行下一次迭代。有结论：因为可见，搜索路线呈之字形。该法的优点是：不论维数多高，每次迭代只沿一个方向搜索。“较圆”时，则收敛得较快；“较扁”时，则收敛得较慢。当目标函数等值线•实际中，前面阶段可用最速下降法，后面阶段用旋转方向法。缺点是：收敛速度“前快后

3、慢”。例求解解因<所以令则有由得新点：第1步第2步因<令沿方向搜索，得迭代：经5次迭代后得解点而本题的精确最优解是：搜索过程见P.32表1.11。例1.24例1.23罚函数法利用约束函数，引入辅助函数思路：二、有约束模型的解构造非负函数：作罚函数：所有约束都满足至少有一个不满足作辅助函数：罚因子(充分大）原模型化为无约束模型：对给定的M1,求得最优解X1=X(M1)•当时，•当时，否则，加大罚因子，迭代，…若满足终止条件（X1近似可行）可以证明：对于因此，该方法也称为外点法。#例用罚函数法求解解构造辅助函数在图中阴影区域内（S外的点），用微分法求F的极小值点。即令＃注：若

4、不便用微分法求解，则可用无约束模型的搜索法对给定的Mi（或任意的M）求X(Mi),用终止条件终止计算。变化过程见P.35另外：还有混合罚函数法、内点法等。＃