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1、学校__________姓名__________________密___________________封_____________________线_____________________________高中数学教师解题比赛试题时量：120分钟满分：150分注意:1.本次考试允许使用各型计算器.2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解.一、填空题(每题7分,共56分)：1．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n(n∈N,n≥5)=______________。2．已知三角形ABC的三边
2、a，b，c成等差数列，则cosB的范围是______________。3．已知x2+xy+y2=3，则x2+y2的范围是______________。4．函数f(x)=请给出它的单调递增区间:______________。5．已知函数f（x）满足以下条件：在定义域R上连续，图象关于原点对称，值域为（-1，1）。请给出一个这样的函数：______________。6．已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为______________。7．已知四面体ABCD的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为_______
3、_。8．从1到10的十个整数中任选三个,使它们的和能被3整除,这样的选法共有__________种。二、解答题(每题20分,共80分)：9．设是x1,x2,x3,…,xn是非负实数，且，n∈N,n≥5.求证：。710．有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之
4、门)的概率.11．已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A液体。现将B液体注入其中，每隔10秒钟注入0。1升（假设两种液体5秒左右能够均匀互溶）。请问从注入B溶液起多长时间A、B两种溶液浓度最为接近？712．若抛物线y=ax2-2上总存在关于直线x+y+1=0对称的不同两点，求a的范围。7三、论述题(每题7分,共14分)：___________________密___________________封_______________________线______________
5、____ _13．请问《普通高中数学课程标准（实验）》对数学的意义赋予了什么新的内容？14．请谈谈你在转化数学后进生方面的经验和体会.7高中数学教师解题比赛试题及参考答案时量：120分钟满分：150分本次考试允许使用各型计算器试题若条件不够可自行补充,若条件有误可自行修改,不必要的修改为错解.一、填空题(每题7分,共56分)：1．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n=_2（n-1）2n+2__。2．已知三角形ABC的三边a，b，c成等差数列，则cosB的范围是__[1/2，1）_。（利用三角形两边之和大于第三
6、边，2b=a+c，确定a与c的关系，由余弦定理，得到一个函数，最后求出它的值域）3．已知x2+xy+y2=3，则x2+y2的范围是_[2，6]_。（用三角换元法）4．它的递增区间是（-∞，+∞）。(可以估计,参考
7、x
8、+3x的单调性)5．已知函数f（x）满足以下条件：在定义域R上连续，图象关于原点对称，值域为（-1，1）。请给出一个这样的函数：。（或满足条件的其它函数）6．已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为_4：1_。（利用平行四边形及三角形面积公式转换。也可构造正三角形得到这个比例值）7．已知四面体ABCD的五
9、条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为。(可以想象成一个正三角形沿一条边折起,找到外接球心位置后,设出半径,列方程求解)8．从1到10的10个整数中，任选三个使它们的和能被3整除，则不同的选法有42种。（将10个数按除以3的余数分为三类，三个数的分布只有（1，1，1）和（3，0，0）（0，3，0）（0，0，3）四种情况，因此共有4×3×3+4+1+1=42种）二、解答题(每题20分,共80分)：9．设是x1,x2,x3,…,xn是非负实数，且，求证：。证明：设xm、xn是非负实数，且它们的和小于1/2，由，易得由已知，，所以成立。7
10、本题考查证不等式的一般能力，如能提出构想：将n项乘积转化为n-1项的乘积，则思路就容易产生。估计的思想也很重要，即转化出的中间量应在左边与右边之间，比1/2大。本题也可采用数学归
