珠海市2006年高中数学教师解题比赛试题

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1、学校__________姓名__________________密___________________封_____________________线_____________________________珠海市2006年高中数学教师解题比赛试题时量:120分钟满分:150分注意:1.本次考试允许使用各型计算器.2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解.一、填空题(每题7分,共56分):1.求和:1×21+2×22+3×23+…+n×2n(n∈N,n≥

2、5)=______________。2.已知三角形ABC的三边a,b,c成等差数列,则cosB的范围是______________。3.已知x2+xy+y2=3,则x2+y2的范围是______________。4.函数f(x)=请给出它的单调递增区间:______________。5.已知函数f(x)满足以下条件:在定义域R上连续,图象关于原点对称,值域为(-1,1)。请给出一个这样的函数:______________。6.已知点O在△ABC内部,且有,则△OAB与△OBC的面积之比为____

3、__________。7.已知四面体ABCD的五条棱长为2,一条棱长为1,那么它的外接球半径为________。8.从1到10的十个整数中任选三个,使它们的和能被3整除,这样的选法共有__________种。二、解答题(每题20分,共80分):9.设是x1,x2,x3,…,xn是非负实数,且,n∈N,n≥5.求证:。710.有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若

4、掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率.11.已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体(当一端注入液体时,另一端将同时排出同样体积的液体),原来全是A液体。现将B液体注入其中,每隔10秒钟注入0。1升(假设两种液体5秒左右能够均匀互溶)。请问从注入B溶液起多长时间A、B两种溶液浓度最为接近?712.若抛物线y=ax2-2上总存在关于直线x+y+1=0对称的不同两点,求a

5、的范围。7三、论述题(每题7分,共14分):___________________密___________________封_______________________线___________________13.请问《普通高中数学课程标准(实验)》对数学的意义赋予了什么新的内容?14.请谈谈你在转化数学后进生方面的经验和体会.7珠海市2006年高中数学教师解题比赛试题及参考答案时量:120分钟满分:150分本次考试允许使用各型计算器试题若条件不够可自行补充,若条件有误可

6、自行修改,不必要的修改为错解.一、填空题(每题7分,共56分):1.求和:1×21+2×22+3×23+…+n×2n=_2(n-1)2n+2__。2.已知三角形ABC的三边a,b,c成等差数列,则cosB的范围是__[1/2,1)_。(利用三角形两边之和大于第三边,2b=a+c,确定a与c的关系,由余弦定理,得到一个函数,最后求出它的值域)3.已知x2+xy+y2=3,则x2+y2的范围是_[2,6]_。(用三角换元法)4.它的递增区间是(-∞,+∞)。(可以估计,参考

7、x

8、+3x的单调性)5.

9、已知函数f(x)满足以下条件:在定义域R上连续,图象关于原点对称,值域为(-1,1)。请给出一个这样的函数:。(或满足条件的其它函数)6.已知点O在△ABC内部,且有,则△OAB与△OBC的面积之比为_4:1_。(利用平行四边形及三角形面积公式转换。也可构造正三角形得到这个比例值)7.已知四面体ABCD的五条棱长为2,一条棱长为1,那么它的外接球半径为。(可以想象成一个正三角形沿一条边折起,找到外接球心位置后,设出半径,列方程求解)8.从1到10的10个整数中,任选三个使它们的和能被3整除,则不

10、同的选法有42种。(将10个数按除以3的余数分为三类,三个数的分布只有(1,1,1)和(3,0,0)(0,3,0)(0,0,3)四种情况,因此共有4×3×3+4+1+1=42种)二、解答题(每题20分,共80分):9.设是x1,x2,x3,…,xn是非负实数,且,求证:。证明:设xm、xn是非负实数,且它们的和小于1/2,由,易得由已知,,所以成立。7本题考查证不等式的一般能力,如能提出构想:将n项乘积转化为n-1项的乘积,则思路就容易产生。估计的思想也很重要,即转化出的中间量应在左边与右边之间

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