函数的单调性在解奥赛题中的应用.

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文函数的单调性在解奥赛题中的应用学生姓名：学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：指导教师：完成日期：2011年5月13日12学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要函数单调性作为函数的一条重要的性质、是函数的核心内容之一、在解题中有着极为广泛的应用,因此它是研究函数的重要内容和手段、也是解决其他一些数学问题的有力工具.本文主要讲函数的单调性在解决求最值、比较大小、求参数值、解不等式、证明不等式、求函数的定义域、值域、讨论方程有解的条件等问题中的应用.关键词：奥林匹克数学竞赛题、

2、函数的单调性、应用.12学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录中文摘要1引言11.函数单调性的理解11.1对函数单调性概念的认识11.2函数单调性的判断22.函数的单调性在解奥赛题中的应用32.1比较大小32.2求最值42.3求参数值或取值范围42.4解不等式52.5证明不等式62.6求函数的定义域62.7求函数的值域62.8求值72.9讨论方程有解的条件82.10解决函数或方程问题9总结10参考文献11致谢1212学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言函数单调性作为函数的一条重要的性质、是函数的核心内容之一、在解题中有着极为广泛的应用、因此它是研究函数的重要内容和手段、

3、也是解决其他一些数学问题的有力工具.解奥林匹克数学题中如果能充分发掘有关问题的隐含条件、把问题化归到单调函数模型上去、灵活应用单调性、常能给学者一种简洁明快、耳目一新的感觉、往往可以快速、简捷地解决问题、有时甚至能收到独特神奇之效.1.函数单调性的理解1.1对函数单调性概念的认识在数学课的学习过程中,掌握教材是学习的根本,尤其是函数作为讨论数学问题的常用工具,对其内涵,性质和更多特性的认识及应用更显重要.函数单调性是函数知识中的重要概念,它反映了函数值随自变量增大（减少）而增大（减少）的变化规律,也就是说当函数是增（减）函数时,就具有单调性.增（减）函数的定义：对于函数的定义域内某个区间上的任

4、意两个自变量的值（1）若当时,都有,则在这个区间上是增函数.（2）若当时,都有,则在这个区间上是减函数.注意：增函数满足自变量的变化与相应函数值的变化有相同的变化趋势,减函数满足自变量的变化与相应函数值的变化有相反的变化趋势,简称同步增,反步减.（3）两个值是“任意”的而不是存在着.12学士学位论文BACHELOR’STHESIS1.2函数单调性的判断1．判断某函数在某区间上具有某种单调性,常用的是定义法即根据定义来判断.由单调性的定义证明函数单调性的过程是:在所给区域内任取两数且,再作差,判断差值的符号(正负).步骤简记为：设置作差变形定号结论.2．运用简单函数的性质直接退出所求函数的单调性

5、,注意以下几个性质的运用：函数与的单调性相反；函数与的单调性相反；复合函数的单调性取决于构成复合函数的两个函数的单调性,遵循以下口诀“同增同减为增,一增一减为减”；若判断函数在某区间上不是单调函数,只要举一反例说明即可.12学士学位论文BACHELOR’STHESIS2.函数的单调性在解奥赛题中的应用函数的单调性是函数的重要性质,通过研究函数的单调性可以揭示函数值的增大或减小的变化特性,从而使一些数学问题如比较大小,求最值,证明不等式求函数最值、求参数的范围的问题得到较好的解决.用函数单调性来解题时,首先,要有应用单调性来解题的意识。其次,要善于构造合理的函数,也就是在对问题细致地观察和透彻的

6、分析地基础上,透过现象,把握问题的本质,从而构造出合理的函数.2.1比较大小利用函数的单调性来比较大小是一种常用方法.例1：（1998年一试二.1题）若是以2为周期的偶函数,当时,,则,,由小到大的排列是（）.分析：由题设可知要比较它们的大小,首先是要将三个函数值等价转化,使其,其次利用,的单调性即可.解：由于是以2为周期的偶函数,根据函数的周期性和奇偶性可得又而,在上是严格递增的.12学士学位论文BACHELOR’STHESIS所以即.2.2求最值例2：已知函数,求的最大值与最小值.解：∵函数图像为抛物线,开口向上,对称轴为∴的最大值为,的最小值为.例:若函数的最小值为,求实数的值.解:当时

7、,函数在其定义域上单调递增,故当时,从而;当<时,在其定义域上单调递增,故当时,,从而.2.3求参数值或取值范围例3：已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围.解：∵函数图像的对称轴为,∴函数的单调减区间为12学士学位论文BACHELOR’STHESIS∴由已知条件可得,解得.例4:设其中如果当时,有意义,求的取值范围.解:由题设得,当时,.....①恒成立,变形得:,要使①式恒成立,对,的最大