第6章 常微分方程数值方法

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1、第六章常微分方程数值方法连续问题的离散处理——寻求微分方程的解在某些离散点上的值——在处的近似值；记号：——所求函数在处的（准确）函数值，——计算得到的处的函数（近似）值，——节点，——步长；等步长：；以下若不另作说明，一般总记为等步长。§6.1初值问题的数值方法考察微分方程初值问题：由微分方程理论可知：若函数关于满足条件，即存在与无关的常数，使初值问题的解存在且唯一；6.1.1法及其变形1、法由Taylor展开式：作局部化假设：，并略去项，便有将此式右端作为的近似，便得到公式Euler公式两者的差（即略去的项）称为局部截断误差，记作：Eul

2、er公式也可由其他方法导出，例如由第四章数值导数公式，可有：；解出，并由替换，便可得Euler公式。又如，根据Newton-leibniz公式：25将以“0次插值多项式”替换，即以代入积分，得到数值积分（左矩形）公式，及其误差：又得到与Taylor展开式相同的表达式，从而又导出Euler公式。几何意义——折线法若一个公式的局部截断误差为，则称该公式的精度为阶，或该公式为阶公式。Euler公式是1阶公式。注意，以上的截断误差是在局部化假设的前提下得到的，即认定。倘若在每一步都按局部化假设，我们有Euler公式的总体截断误差：2、后退法若取数值导

3、数公式：与前相同的推导过程，可以得到在局部化假设的前提下截去局部截断误差便得到后退法公式：注意到此公式中的右端也有，需要求解关于的方程才能得到。因此将这类公式称为隐式公式，而将可以通过直接计算得到的公式称为显式公式。后退公式是一阶隐式公式，Euler公式是1阶显式公式6.1.2多步法1、梯形公式：在式右端的积分中，取梯形积分公式，有由此，并据微分方程，可得：25梯形公式局部截断误差：这是一个2阶隐式公式。1、Simpson公式：在式右端的积分中，取Simpson积分公式，有由此，并据微分方程，可得：Simpson公式局部截断误差：；与以前的公

4、式不同，用Simpson公式计算，必须有前2步的函数值：和。因此这种方法称为2步方法，而为启动此算法所需的最初的2个函数值：称为表头。更一般的，若计算必须有至少前2步函数值，则这种方法称为多步法。具体地，若计算必须有前k步的函数值，则这种方法称为k步方法，而为启动该方法所需的最初的k个函数值：称为该方法的表头。与此相对，以前的方法计算，只须前1步的函数值，便称为单步方法。因此，Simpson公式是2步、4阶、隐式方法。2、Adams方法（线性多步法）在式右端的积分中，若取具有k+1节点的插值多项式近似替代作为被积函数，导出初值问题的求解方法称

5、为Adams方法。（1）显式Adams方法——Adams-Bashforth公式取处的构造插值多项式取代：其中。由于，有25由此（以后为方便计，记），可得显式的多步法Adams-Bashforth公式及其局部截断误差这是步、阶的显式公式。下表是的的数值（注意：）011123-121223-16532455-5937-947201901-27742616-1274251以下是的公式推导过程：作变量代换：，以为变量，当的变化区间为时，的变化区间为，且，有25（2）隐式Adams方法——Adams-Moulton公式若取处的构造插值多项式取代，与前

6、一样的方法，可得隐式的多步法Adams-Moulton公式及其局部截断误差这是步、阶的隐式公式。下表是的的数值（注意：）：011121121258-1324919-514720251646-264106-19述评：从表可见，对相同的，相同，而，特别是：，，而有若干，因而在存在计算误差时，由前步导致的误差显然隐式公式要比显式公式小（显式公式对前步的误差会被放大，而显隐式公式则不会），而且局部截断误差也是隐式公式要比显式公式小，结论：隐式公式的稳定性一般比显式公式好。6.1.3待定系数法利用展开式比较有关项的系数，可以直接导出公式——待定系数法。

7、例：求以下数值公式的系数使公式具有尽可能高的精度：解：由于，因此由展开式，25同时，对所求公式右端各项也作相应的展开，并乘以相应的系数：由于期望尽可能准确，比较各对应项的系数，可得方程组：，解之可得：；注意到局部截断误差是，因此显然，这就是的显式Adams-Bashforth公式。例：求以下数值公式的系数使公式具有尽可能高的精度：与上例完全一样，比较系数，可得公式：局部截断误差：这个公式称为Milne公式，稍后我们将用到它。综上所述，从公式的构造过程可见，微分方程初值问题的算法公式基本上源于：Taylor展开式、数值积分或数值微分，而插值方法

8、一般也是通过数值积分或数值微分完成的。lTaylor展开式——待定系数法直接来自于Taylor展开式，通过比较系数，形成线性方程组，取得公式与局部截断误差；l数值积