数值方法第９章常微分方程数值解（下）

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1、§3单步法的收敛性和绝对稳定性(I)收敛性几+i=几+%(£，儿;力解出：儿必…，几数值求解微分方程初值问题解y(x),总是要求儿是y⑴的近似,对于Eulei•方法，我们推导了整体截断误差。耳=)心“)一儿满足y(兀J—几

2、sc/z当/7T0时，有儿Ty(£),我们注意到这个极限与通常不同。R中点xn=勺+nh应该是不动的，当力T0时必有兄T8,如果用x=x0+nh那么这个极限过程当力TO,"Too是同时的，而x=x.+nh仍固定，这样的极限可以记为limF(h,n)〃tOx=xQ^-nh并称其为固定态极限(fixedstationlimit)例

3、如：lim(1+/?)"=limew+hr=lim严删"TO力TO力TOx=XQ+nhx=jq)+〃/ix=xQ^-nh.乜吠1+力)=limehhTOln(l+〃)lim严心〃tOlim力TOx=x0+nh另一种情况.汕(1+d)・ln(l+dflimen=limen/I—>OOZ?—>oo二严W二严[y'=f（x,y）定义设初值问题｛/,/（兀,刃对y满足[y（x0）=a^Lipschitz条件，如果单步方法(*)几+】二儿；力得到的解儿，对任xg[x0,/?],x=x0+nh,均有何儿=yM力tOx=Xq^hIi则称单步法是收敛的由收敛性可

4、以推得，对于xn=x04-nh整体截断误差色=刃£）一儿to（/?to）关于收敛性有：定理若初值问题才=/（兀,刃，丿（兀0）=）‘0的一个单步方法儿+严儿+力0（£，儿；/0的局部截断误差为O刖）（P>1）,旳=）；（兀）精确成立，并且0对y有Lipschitz条件：

5、0（x,y;/2）—0（兀,幵/训5厶卜一刃，R=>单步法收敛并有）心“）-儿=O（hp）证明根据收敛定义兀=兀+nhy（x）—儿t0（当力t0）因此必须估计y（x）—儿事实上，兀仍为即估计仿Euler方法中整体截断误差的推导，对以插入项,引入局部截断误差，局部截断误差有Tn+i

6、=yg)-丿(£)-h0(百，心)；防由定理条件Tn+l=O(hp+i)£”+】=)(£+J一儿+i=y(£+J-g”)+力0(暫,y(xn)；h))+(y(£)+力0(兀,『(£);%))一几+】二y(£+i)-[)5)+h0(兀“,y(£);/0]+[心)+h心,y(H-(儿+h0(暫，儿；/?))陥15卜(£+J-[y(忑)+h0(捡,y(£);h)]+卜(£)+h0(兀,y(xn)h)-儿一h(/>(xn,yn;h)

7、^

8、ef]

9、{

10、匕』}=[1+(1+/?L)]C/严+(1+hL『en_2这样递推下去有匕15[1+(1+力厶)+•••+(1+hL)“]Chl)+l+(1+hLf

11、e0

12、取yQ=y(xQ)9则有(l+hL)n

13、^o

14、=O,并且1+(1+也)+...+(1+肚严=(1+M)"-1=(1+M)"-1(1+庞)-1hL1+(1+/?厶)+..・+(1+也)"_=(1+力厶)_1(1+/?L)-1(1+力厶)"一1_hL(1+hL/<(1+L),l£”<-C/zp+,=ChpnhL

15、nlim儿=y(x“)，V£=x0+nh〃tO并有en(X,y;/?)=/(%,y)由于/对y满足Lipschitz条件=>0(x,yh)对y也满足Lipschitz条件。应用定，理知Euler方法收敛。Runge-Kutta方法，对R=2的改进Euler方法。h=>；+-[/(兀，儿)+/(暫+h,yn+hj(兀”,儿))]臨严0(巧0(无,y;h)=^[f(x9y)+/(x+h,y+hf(x,y))]0(x,y;/?)一0(x,y;/?)

16、<^-

17、/(x,y)一

18、/(x,y)+*

19、/(x+/z,y+/?/(x,y))—/(兀+/i,歹+hfgy))

20、

21、=L

22、y-y

23、+^/i

24、/(x,y)-/(x,y)

25、SL

26、y-7

27、+-yL

28、y-y

29、=L(l+^)

30、y-y

31、hI假定步长h

32、;xo'K"u2dgOHsv・：7」！wqemjlyI(€£+W-盘+