经济数学基础讲义 第3章 导数应用

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1、第3章导数应用3.1函数的单调性从这一讲开始讲第3章导数应用.在上一章的总结中指出,导数是特别重要的,不仅在本课程中有很多应用,而且在将来的工作中也有很多应用.这一章中,主要讲导数在两方面的应用:1.导数在研究函数时的应用  2.导数在经济中的一些应用股市及股市曲线在生活中,随着经济的发展,同学们或多或少都会接触股市.在股市上,人们特别关注股市曲线,关心在哪一段时间股市在上升,哪一段时间股市会下降;或者在哪一个时间达到峰值,哪一个时间达到低谷,低谷的值是多少?生产场景及生产曲线在工业管理中,关心投入与产量之间的关系,产量随投入

2、变化的情况,何时达到最高.在下两节中就是要讨论这个问题.单调性判别下面首先讨论3.1函数的单调性.        什么叫函数的单调性?1.1节中定义函数的单调性为:一个函数在一个区间之间随着自变量的增加,函数值也在增加,叫做单调增加的;如果随着自变量的增加,函数值却在减少,叫做单调减少的.从函数本身或图形,都能判断函数的单调性,但有时还需要用导数工具判别单调性.先考察y=x2,它的图形是抛物线.在x>0处,函数单调上升;在x<0处,函数单调下降.当在x>0这一边的每一点处都有切线时,切线的特征是:切线与x轴正向的夹角一定小于9

3、0°.14当在x<0这一边的每一点处都有切线时,切线的特征是:切线与x轴正向的夹角一定大于90°.定理 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导.  (1)如果x(a,b)时,(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增加;  (2)如果x(a,b)时,(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减少.意义:利用导数的符号判别函数的单调性.说明:闭区间[a,b]换成其它区间,如(a,b),(-,b],(a,+).使定理结论成立的区间,称为y=f(x)的单调区间.定理3.1 设函数y=f(x)在区间[a,b]上

4、连续,在区间(a,b)内可导. (1)如果x(a,b)时,(x)>()0,则f(x)在[a,b]上单调增加(不减);(2)如果x(a,b)时,(x)<()0,则f(x)在[a,b]上单调减少(不增).“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢?单调增加是自变量变大,函数值也变大;而单调不减是自变量变大,函数值不变小,即函数值也变大或函数值保持相等.所以,单调增加与单调不减是有一些差别的.修改后的定理3.1如下:14定理3.1设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导.(1)如果x(a,b)时,(x) 0

5、,则f(x)在[a,b]上单调不减;(2)如果x(a,b)时,(x) 0,则f(x)在[a,b]上单调不增.由此我们可以说第二位同学的回答是正确的,下面给出证明. 结论:若,,则.证:既单调不增又单调不减例1判别y=x3+1的单调性.[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断,在学了定理3.1后,就可以用导数来判断.解: 定义域为(-,+)(x)=3x2>0,x(-,+),且x0y在(-,+)上单调增加.从图形上可以看出,这个函数的确在整个定义域上是单调增加的.例2求y=2x3-9x2+12x-6的单调区间.[分

6、析]首先求出定义域,再利用定理3.1(利用导数作为工具)判断该函数在哪个范围内单调增加,哪个范围内单调减少,即判断在哪个范围内导数大于0,在哪个范围内导数小于0.因此,要求出使导数等于0的点(分界点),再作判断.解: 定义域为(-,+), =6x2-18x+12;x2-3x+2=0(x–1)(x–2)=0;x1=1,x2=2单调增加区间为(-,1],[2,+);单调减少区间为[1,2].14在右图形中x1=1,x2=2是分界点,在区间(-,1]内,函数是单调增加的;而在区间[1,2]内,函数单调减少;在区间[2,+)内,函数是

7、单调增加的.例3 求的单调区间.解: 定义域为(-,-1),(-1,+), 单调增加区间为(-,-1),(-1,+)从图形中看出,该函数确实在整个定义域内是单调增加的.归纳:求函数单调区间的步骤:①确定的定义域;②求(x)=0和(x)不存在的点,并组成若干子区间;③确定(x)在每个子区间内的符号,求出f(x)的单调区间.例4当x>0时,试证ln(1+x)>x-x2.  14[分析]先建立一个函数F(x),将问题转化为函数单调性讨论的问题;再利用导数判断F(x)的单调增加性,得到要证明的结论.证:F(x)=ln(1+x)–(x-

8、x2)  F(x)单调增加.又F(0)=0,故当x>0时,F(x)>0;即 ln(1+x)>x-x2.3.2函数极值3.2.1函数极值及其求法首先要明确什么叫函数极值,先看定义:定义3.1 设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义.如果对该邻域内的任意一点x(xx0),恒有f(

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