数列高考题综述与教学建议

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1、地址:南昌市二七北路238号,南昌三中高中部蒋玉清2010数列高考题综述与教学建议(南昌市第三中学蒋玉清330077)随着我国普通高中新课程改革的不断向前推进,2011年多个省高考数学将首次进行新课标后的自主命题。中学数学教学必须体现知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三维目标,同时高考命题的一个重要原则是有于中学教学,按照“保持整体稳定,推动改革创新,立足基础考查,突出能力立意”的命题指导思想。高考又是检验教学效果的一个重要形式,是中学教学的指挥棒,也是我们中学教师向社会交的一份答卷,因此,研究高考命题趋势,把握高考命题方向,探索

2、教学改革新路子是数学教师必须完成的功课。数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。数列内容普通高中课程标准教科书(北师大版)安排在必修5,说明这部分知识的学习定位在所有必修课程完成之后。高考对本章的考查比较全面,等差数列、等比数列的考查每年都会出现,一般情况下都是一个客观题和一个解答题,分值占整个试卷的10%左右.一、2010年高考数学列题情况对比现在对2010年高考的15份理科试题进行对比,呈现的特点是:(1)均出现一道大题;(2)处于压轴位置的数列解答题有5道,占15份试题的,其它为中档题;(3)以等差数列、等比数列为主线兼有

3、不等式、函数与方程、数学归纳法、反证法等知识点的交汇。其中涉及等差数列、等比数列通项与求和的题有10道,占15份试题的,涉及数学归纳法的题有2道,涉及不等式的题有4道,涉及递推数列的题有3道。卷型题序分数主要考查的知识点全国I2214数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等全国II1812数列的基本公式,数列的极限,不等式江西2214等差数列安徽2012等差数列,数学归纳法与充要条件北京1613等差数列求通项,等比数列求和11地址:南昌市二七北路238号,南昌三中高中部蒋玉清湖南2013等差数列,等比数列的性质,数列求和山东18

4、12等差数列的通项公式与前n项和公式、裂项法求数列的和,陕西1612等差数列的通项公式,等比数列求和上海2013等比数列,数列求项,等比数列定义及求和,数列的性质,不等式江苏1916等差数列的通项、求和以及基本不等式四川2112等差数列的通项、等比数列求和、错位相减法求和,递推数列天津2214等差数列的定义及通项公式、前n项和公式,等比数列的定义、数列求和重庆2112递推数列,数学归纳法,不等式浙江1912等差数列通项、求和等湖北2013等差数列,等比数列,反证法二、2010年数列高考题型剖析(一)、关于等差数列的通项、求和与不等式整合例

5、1、(2010年江苏)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列。(1)求数列的通项公式(用表示);(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为。[解析](1)由题意知:,,化简,得:,,当时,,适合情形。故所求(2)(方法一),11地址:南昌市二七北路238号,南昌三中高中部蒋玉清恒成立。又,,故,即的最大值为。(方法二)由及,得,。于是,对满足题设的,,有。所以的最大值。另一方面,任取实数。设为偶数,令,则符合条件,且。于是,只要,即当时,。所以满足条件的,从而。因此的最大值为。(二)关于数列

6、求和、等比数列的定义、一阶递推数列及函数、不等式的整合例2.(2010年上海)已知数列的前项和为,且,(1)证明:是等比数列;(2)求数列的通项公式,并求出n为何值时,取得最小值,并说明理由。[解析]:(1)当n=1时,a1=-14;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以,又a1-1=-15≠0,所以数列{an-1}是等比数列;(2)由(1)知:,得,从而(nÎN*);解不等式Sn

7、1地址:南昌市二七北路238号,南昌三中高中部蒋玉清(三)关于等差数列、数论基础知识、几何知识的整合例3.(2010年江西)证明以下命题:(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.[解析](1)对任一正整数,可选,则则。此时,即成等差数列。(2)对于正整数,要使成等差数列,即故均为奇数,且由,各因子均为偶数,而等式两边能分解为不同的两个偶因数的积,可设积为,,令,;。得,,。当时,均为正奇数,且故可够成三角形的三边,且当时,三角形的三边与三角形的三边不成比例,故可取任

8、意,够成的无穷多个三角形均不相似。(四)关于数列通项的基本公式、数列的极限及不等式的整合例4(2010年全国II)已知数列的前项和.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:.[解析]:(1),,(2)当(五)关

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