第二章 一元函数微分学

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1、第二章　一元函数微分学一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。§2-1　导数和微分本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：。因此只要求出的导数，由此关系式即可得到它的微分。所以

2、，下面主要是总结求函数的导数的方法。一、重要概念和重要公式1.导数概念　　2.导数的几何意义与物理意义3.微分概念4.幂指函数求导公式5.由参数方程确定的函数的二阶导数6.几个重要的阶导数公式7.Leibnitz公式8.回答下列问题二、用导数定义求导数这种方法用于求函数在某一点的导数（称为点导数），常见于求分段函数在分界点的导数及未假定函数的导数存在的条件时，但要求其导数等问题.三、复合函数求导复合函数求导时，关键要看清楚中间变量的选取。四、高阶导数求高阶导数的方法一般有两种：一种是先求出一阶、二阶、三阶导数，从中观察、归纳找出规律，从而得出阶导数的表达式（称为归纳

3、法）；另一种是利用简单函数的阶导数的结果及Leibnitz公式求高阶导数。五、隐函数求导六、参数方程确定的函数求导七、求切线和法线§2-2　中值定理及其应用本节主要是利用中值定理及Taylor公式证明“中值等式命题”及“不等式”，并用零点定理或罗尔定理证明方程根的存在性，利用单调性来讨论方程的根，这些内容是导数应用的重要组成部分.一、重要公式1. Rolle定理2.Lagrange中值定理3.Cauchy中值定理4.Taylor公式5.零点定理二、证明“中值等式命题”这个内容与证明“定积分命题”是一元函数范围内考察逻辑推理能力及分析构造能力的重要部分。这里一般方法如

4、下：先把题求中的“等式”改写成某个中值定理的形式，然后作出适当的辅助函数及相关区间，再对在上应用相关的中值定理。三、证明不等式证明不等式的方法主要有：利用函数单调性方法，利用Taylor公式方法及对不等式组利用最值方法。四、讨论方程的根§2-3　函数性态的讨论本节是利用导数研究函数及平面曲线的性态，如单调性、极值、凹凸性与拐点、最大最小值等简单的应用问题。本节的关键是导数计算一定要准确，并且对各种判别方法要了然于胸。一、重要概念与重要公式单调性、极值、凹凸性与拐点的判别法，同学已经比较熟悉，此略。1.曲线的渐近线2.曲率与曲率半径公式3.回答下列问题二、函数性态+0

5、+-0+-0++++拐点极小自我检测题(二)