mathematical modeling 06

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1、最速降线问题确定一个连接定点A、B的曲线,使质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点(忽略摩擦力和阻力).速降线问题实验速降线是否连接A和B的直线段？X牛顿的实验（1630年）在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B。发现沿圆弧的球先到B。伽利略也曾研究过这个问题，他认为速降线是圆弧线。建模与求解xoyBAPs:曲线从A点到P(x,y)的速度由弧微分,得需取极小值的积分是泛函的极值问题令由变分理论知的解所满足的欧拉方程为问题可化为BB最速方案问题将一辆急待修理的汽车由静止开始沿直线方向推至相隔S米的修车处，设阻力不计，推车人能使车得到的牵引

2、力f满足:-B≤f≤A,f>0为推力，f<0为拉力。问怎样推车可使车最快停于修车处。设该车的运动速度为υ(t)，根据题意，υ(0)=υ(T)=0，其中T为推车所花的全部时间。由于-B≤f≤A，且f=mυ′，可知-b≤υ′≤a（其中m为汽车质量，a=A/m,b=B/m）。据此不难将本例归纳为如下的数学模型:minTυ(0)=υ(T)=0此问题为一泛函极值问题，求解十分困难，为得出一个最速方案，我们作如下猜测：猜测最速方案为以最大推力将车推到某处，然后以最大拉力拉之，使之恰好停于修车处，其中转换点应计算求出证明设υ=υ(t)为在最速推车方案下汽车的速度，则有.设此方案不同于我们的

3、猜测。现从O点出发，作射线y=at；从（T,0）出发，作直线y=-b(t-T)交y=at于A，由于，曲线υ=υ(t)必位于三角形区域OAT的内部，从而有ΔOAT的面积大于S。在O到T之间任取一点T′,过T′作AT的平行线交OA于A′.显然ΔOA′T′的面积S(T′)是T′的连续函数,当T′=0时S(0)=0,当T′=T时，S(T）>S，故由连续函数的性质存在某T′

4、(单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学建立房室模型——药物动力学的基本步骤何为房室系统？在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）。房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为“交换”且交换满足着总量守衡。以下我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。交换环境内部

5、单房室系统均匀分布房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：药物分布的单房室模型单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。机体环境药物总量图3-8假设药物均匀分布情况1快速静脉注射机体环境只输出不输入房室其解为：药物的浓度：与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所

6、需的时间称为药物的血浆半衰期：负增长率的Malthus模型在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：情况3口服药或肌注y(t)x(t)K1yK1x环境机体外部药物口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量为y(t)，则y满足：D为口服或肌注药物总量因而：所以解得：从而药物浓

7、度图3-9给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同。图3-9我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。观众厅地面设计在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前