一道课本“链接题”的思考与探究

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1、一道课本“链接题”的思考与探究　　在我们的自主学习与合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。　　下面，就以普通高中课程标准实验教科书（苏教版）数学（选修4-1）§1.2.1圆周角定理课题下的一个链接：托勒密（Ptolemy）定理为例，谈点学习体会。　　托勒密（Ptolemy）定理？

2、摇若四边形四个顶点都在同一圆上，则其对角线之积等于两组对边乘积之和。　　托勒密（Ptolemy）定理的历史可追溯到公元2世纪。古希腊数学家和天文学家Ptolemy对三角学有很多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。　　一、Ptolemy定理的证明思想　　已知：如图1，四边形ABCD的4个顶点都在⊙O上。求证：AC?BD=AB?CD+AD?BC　　分析：这个等式若成立，那么在线段AC上必有一点E，使得AD?BC=BD?AE且AB?CD=BD?EC.凡属两个乘积等式，通常要变成比例式而后看有无相似形可以利用

3、。　　证明如图1我们不妨在AC上取点E，使∠ADE=∠BDC，　　由∠DAE=∠DBC，得△AED∽△BCD，　　所以AE：BC=AD：BD，即AE?BD=AD?BC①　　又由∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD，得△ABD∽△ECD，　　所以AB：EC=BD：CD，即EC?BD=AB?CD②　　由①+②，得AC?BD=AB?CD+AD?BC　　这一看似简单的证明蕴涵着极深刻的思想。首先，在AC上取点E，是一种构造性很强的做法，这恰好使圆周角能够充分利用。其次，证明过程中两次运用相似三角形，在发现了第一组

4、相似三角形之后，从中得到有关边的比例关系，进而将该比例关系式变形，结合圆周角相等得到另一组相似三角形。　　二、Ptolemy定理的实质　　从表面上看Ptolemy定理是关于边的等式，但由于四边形外接圆的存在，Ptolemy定理从一个侧面反映了角的关系。也许正因为如此，Ptolemy定理有了较好的应用背景。如图1所示，由正弦定理得　　AD=2Rsin∠ABD，AB=2Rsin∠ADB，BC=2Rsin∠BDC，　　DC=2Rsin∠DBC，AC=2Rsin∠ADC，BD=2Rsin∠BAD。　　这样，Ptol

5、emy定理就等价于　　Sin∠ABD?sin∠BDC+sin∠ADB?sin∠DBC　　=sin∠ADC?sin∠BAD。　　经过一些三角函数运算，上式显然成立。由此可见，Ptolemy定理是一个很典型的边角关系工具，它表达了角参量内在的联系，体现了Ptolemy定理的本质。　　三、Ptolemy定理的逆命题　　Ptolemy定理在我们几代人的教科书里都出现过，说明了它的历史地位重要，影响很大。下面我们来探究Ptolemy定理的逆命题是否是真命题。　　Ptolemy定理的逆命题若凸四边形每双对边乘积的和等于

6、两对角线的乘积，则这四边形必有外接圆。　　已知：如图2，在四边形ABCD中，若AB?CD+AD?BC=AC?BD求证：四边形ABCD是圆内接四边形。　　分析：因为有了Ptolemy定理的证明思想，取点E――构造两次相似――得比例式――变形相加。那么我们就顺着这条思路来探索研究，如果缺少相似的条件，我们就大胆的创造条件，寻找三角形相似，看一看能否实现目标。　　证明：在四边形ABCD内取一点E，连接AE、CE、DE　　使∠ADE=∠BDC，∠DAE=∠DBC　　则△ADE∽△BDE，∴AD：AE=BD：BC，∴

7、AD?BC=BD?AE①　　又AD：ED=BD：CD，∴AD：BD=ED：CD而∠ADB=∠EDC　　∴△ABD∽△ECD，∴AB：BD=EC：CD，∴AB?CD=BD?EC②　　①+②得AB?CD+AD?BC=BD（AE+EC）③　　又∵AB?CD+AD?BC=BD?AC　　比较上面两式，得AC=AE+EC，∴点E在AC上④　　∴∠DAE=∠DAC=∠DBC　　由此可知四边形ABCD是圆内接四边形　　由此可见，Ptolemy定理的逆命题成立，它的证明思想是取点E――构造两次相似――得比例式――变形相加――

8、比较发现三点共线――证得四点共圆，所以说上述证明过程④是证明本题关键的一步。　　Ptolemy逆定理若凸四边形每双对边乘积的和等于两对角线的乘积，则这四边形必有外接圆。　　四、Ptolemy不等式　　不知道大家有没有探索研究过，Ptolemy定理不但有着丰富的内涵，而且具备广泛的外延，下面我们将要研究的是Ptolemy不等式。　　已知：平面上A、B、C、D任意四点，求证：AC?BD≤AB?CD+AD?BC，等号当