由一道课本习题引发的探究

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1、由一道课本习题引发的探究　　摘要：在教学中看到苏科版七年级下册第42页探索研究第20题时，思考：第（1）题属于计算三角形中两内角平分线交角的问题，第（2）题属于计算三角形中两外角平分线交角的问题，在实际教学中增添了计算一内角和一外角平分线交角，还通过一题多解，利用两内角平分线交角的计算公式推理得出其他两种类型交角的计算公式，让学生能熟练掌握三角形中两角平分线夹角的计算公式，以方便以后的计算与证明。　　关键词：三角形（内、外）角平分线交角；转化；归纳；公式　　苏科版七年级下册第42页第20题（1）如图1，在

2、△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；（2）如图2，△A′B′C′两外角∠C′B′D、∠B′C′E的平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；（3）由（1）、（2），可以发现∠BOC与∠B′O′C′之间有怎样的数量关系？若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′之间是否还具有这样的关系？为什么？　　一、两内角平分线交角　　第（1）题中BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，所以∠BOC是两内角平分线的交角。　　分析：由BO、CO分别是∠

3、ABC、∠ACB的平分线知，∠1=■∠ABC，∠2=■∠ACB，又根据三角形内角和为180°知，　　∠BOC=180°-（∠1+∠2）4　　=180°-■（∠ABC+∠ACB）　　=180°-■（180°-∠A）=90°+■∠A，　　得到公式∠BOC=90°+■∠A.此时∠A=40°，则∠BOC=110°。　　■　　其实，通过使用公式∠BOC=90°+■∠A，在图1只要已知∠A？圯∠BOC，反过来已知∠BOC？圯∠A。进一步提问：如果点O是∠BAC、∠ABC的平分线交点，若∠C=70°，则两内角平分线AO

4、、BO的交角∠AOB是多少？反过来若∠AOB=125°，你能求出三角形中哪个内角的度数？目的是让学生能举一反三，熟练掌握公式，体会公式带来的便捷。　　二、两外角平分线交角　　第（2）题中B′O′、C′O′分别是外角∠C′B′D、∠B′C′E的平分线，则∠B′O′C′是两外角平分线的交角。　　方法（一）：由B′O′、C′O′分别平分∠C′B′D、∠B′C′E知，　　∠1=■∠C′B′D，∠2=■∠B′C′E，　　得∠1+∠2=■（∠C′B′D+∠B′C′E），　　其中∠C′B′D、∠B′C′E均为△A′B′

5、C′的两个外角，　　而三角形的外角和为360°，　　故∠C′B′D+∠B′C′E=360°-（180°-∠A′）=180°+∠A′。　　∴∠1+∠2=■（180°+∠A′）=90°+■∠A′。　　∴∠B′O′C′=180°-（90°+■∠A′）=90°-■∠A′。　　■　　方法（二）：利用两内角平分线交角的计算公式推理得出。4　　如图2，分别作∠A′B′C′、∠A′C′B′的平分线交于点O，　　由于B′O、B′O′分别为两个邻补角的角平分线，故有B′O⊥B′O′　　同理C′O⊥C′O′，而四边形OB′O′

6、C′的内角和为360°，∴∠B′OC+∠B′O′C′=180°。　　由第（1）题探索得出两内角平分线交角∠B′OC′=90°+■∠A′，　　从而得出公式∠B′O′C′=90°-■∠A′。　　此时∠A′=40，则∠B′O′C′=70°。同时让学生知道在公式∠B′O′C′=90°-■∠A′中，只要已知∠A？圯∠B′O′C′，反过来已知∠B′O′C′？圯∠A′。　　第（3）题利用已推导出的公式，当∠A=∠A′=n°时，∠BOC=90°+■n°，∠B′O′C′=90°-■n°，则∠BOC+∠B′O′C′=180°

7、，说明∠BOC与∠B′O′C′互补，让学生总结得出：三角形中两内角平分线交角与其外角平分线交角互补。　　三、一内、一外角平分线的交角　　探索完书上题目，我提问：如果点P是内角∠ABC和外角∠ACF的平分线的交点，此时∠BPC就是三角形的一个内角平分线与一个外角平分线的交角，思考：∠BPC与∠A之间存在怎样的数量关系，引导学生画出图形如图3，然后探索、推导、归纳计算　　公式。　　■　　方法（一）：运用三角形外角性质。　　在△BPC中，∠BPC=∠2-∠1，4　　由BP、CP分别平分∠ABC、∠ACF，　　∴

8、∠1=■∠ABC，∠2=■∠ACF，　　故∠BPC=■∠ACF-■∠ABC=■（∠ACF-∠ABC）=■∠A。　　方法（二）：利用两内角平分线交角的计算公式推理得出。　　作∠ACB的平分线交BP于点O，　　由于CO、CP分别为两个邻补角的角平分线，故CO⊥CP，即∠OCP=90°　　两内角平分线交角∠BOC=90°+■∠A，∠BOC是△OPC的一个外角，∴∠BPC=∠BOC-∠OCP=■∠A。　　发现归纳得到公式∠BOC=■∠