空间向量及其运算

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空间向量及其运算四、典题探究例1下列说法中正确的是（）A．若，则，的长度相同，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，则C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有＋＝例2给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足，则；④若空间向量，，满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（）A．4B．3C．2D．1例3给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量；(2)若，满足且，同向，则；(3)不相等的两个空间向量的模必不相等；(4)对于任何向量，，必有.其中正确命题的序号为（）A．(1)(2)(3)B．(4)C．(3)(4)D．(1)(4)例4如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为的所有向量．(3)试写出的相反向量． 五、演练方阵A档（巩固专练）1．在平行六面体中，与向量相等的向量共有(　　)[来源:Z#xx#k.Com]A．1个B．2个C．3个D．4个2．在平行六面体中，模与向量的模相等的向量有(　　)A．7个B．3个C．5个D．6个3．在正方体中，下列各式中运算结果为的是(　　)①(－)－②(＋)－③(－)－④(－)＋A．①②B．②③C．③④D．①④4．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且＝，＝，则＝(　　)A．B．C．D．5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝，＝，＝，则＝________.6．化简－＋－－＝________.7．化简(－)－(－)．8．在正方体中，－＋化简后的结果是(　　)[来源:学.科.网]A．B．C．D．9．已知空间四边形ABCD中，＝，＝，＝，则等于(　　)A．B．C．D．10．如图所示，已知长方体ABCD－A′B′C′D′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)－；(2)＋＋. B档（提升精练）1．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值2．已知平行六面体中，，，求的长[来源:Z&xx&k.Com] 3．已知线段AB、BD在平面内，BDAB，线段AC，如果,,,求C、D间的距离.4．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求：（1）；（2）；（3）．5．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值 6．已知空间四边形中，，，求证：．[来源:Zxxk.Com]7．如图，在平行六面体中，分别是的中点，请选择恰当的基底向量证明：8．已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量 9．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′.求证：＋＋＝2.[来源:学,科,网Z,X,X,K]10．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)＋；(2)＋＋；(3)－－. C档（跨越导练）1．已知，，若，求实数的值2．已知两个非零向量不共线，如果，，，求证：共面[来源:学科网ZXXK]3．对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式：（其中）的四点是否共面？4．已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面． 5．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件：，试判断：点与是否一定共面？6．如图，在平行六面体中，设，，分别是中点，（1）用向量表示；（2）化简：；7．已知，，把向量用向量表示 8．如图，在空间四边形中，分别是与的中点，求证：．9．已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；（2）；（3）．10．已知平行六面体ABCD－化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.⑴；⑵；⑶；⑷[来源:学科网ZXXK] 空间向量及其运算参考答案四、典题探究例1．B例2．D例3．B例4．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.(3)向量的相反向量为，，，，共4个.五、演练方阵A档（巩固专练）1．C[来源:学§科§网Z§X§X§K]2．A3．A4．A5．6．7．∵－＝＋，[来源:学科网ZXXK]∴(－)－(－)＝＋－＋＝＋＋＋＝＋＝0.8．A 9．C10．解：(1)－＝－＝＋＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋B′C′＝.B档（提升精练）1．解：设，，，∴，∵∴，所以，异面直线与所成角的余弦值为．2．解：所以，．[来源:Z。xx。k.Com] [来源:学科网ZXXK]3．解：∵，,∴，又∵,∴，,∴=.∴.4．解：∵向量，向量与的夹角都是，且，∴（1）；（2）=＝1+16+9+0-3-12=11；（3）=＝0--8+18=5．解：∵，∴[来源:学科网ZXXK]∴，所以，与的夹角的余弦值为．6．证明：（法一） ．（法二）选取一组基底，设，∵，∴，即，同理：，∴，∴，∴，即．7．证明：取基底：,（1）∵，，∴（2）∵，∴，由（1），∴平面8．解：[来源:Zxxk.Com]∴ 9．证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．又∵＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝，∴＋＋＝2.10．解：(1)＋＝.(2)因为M是BB1的中点，所以＝.又＝，所以＋＋＝＋＝.(3)－－＝－＝.向量，，如图所示．C档（跨越导练）1．解：∵∴∴∴.2．证明：∵，，，∴∴共面 3．解：∵，∴，∴，∴点与点共面4．解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴共面；（2）∵，又∵，∴所以，平面平面．5．解：由题意：，∴，∴，即，所以，点与共面6．解:（1） 7．∵，∴，8．证明：[来源:学科网][来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学+科+网Z+X+X+K]9．解：如图，（1）；（2）；（3）．10．解：如图： ⑴；⑵=；⑶设M是线段的中点，则；[来源:学.科.网]⑷设G是线段的三等份点，则向量如图所示: