高中数学巧构造，妙解题

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1、巧构造妙解题1.直接构造例1.求函数的值域。分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。解：令，则表示单位圆表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线的斜率。显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即所以故例2.已知三条不同的直线，，共点，求的值。分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即（*）由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。由韦达定理知2

2、.由条件入手构造例3.已知实数x，y，z满足，求证：分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。解：构造一元二次方程其中x，y为方程的两实根所以即故△＝0，即3.由结论入手构造例4.求证：若，，则分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。所以左边故原式得证。例5.已知实数x，y满足，求证：分析：要证原式成立，即证即证由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以故结论成立。巧用函数单调性妙解数学题函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求

3、解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。一.巧求代数式的值例1.已知，求的值。解：已知条件可化为设，则而在R上是增函数则有，即所以点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。拓展练习：已知方程的根为α，方程的根为β，求α+β的值。（答案：）二.妙解方程例2.解方程解：易见x=2是方程的一个解原方程可化为而（因为）在R上是减函数，同样在R上是减函数因此在R上是减函数由此知：当时，当时，这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。拓展训练：解方程。（答

4、：）点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的结论。三.妙求函数的值域例3.求函数的值域。解：令，则因为，所以而在内递增所以又而所以为所求原函数的值域。四.巧解不等式例4.解不等式解：设原不等式可化为则，即设显然是R上的减函数，且，那么不等式即因此有，解得点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练：解不等式。（答：）五.巧证不等式例5.设，求证。证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成立。设因

5、为在上单调递增所以与必同号，或同为0（当且仅当时）从而因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。点评：原不等式等价于，这可由幂函数在上递增而得到。本题可拓展：令，则。六.巧解恒成立问题例6.已知函数对区间上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。解：依题意，对上任意x的值恒成立整理为对上任意x的值恒成立。设，只需而在上是增函数则所以七.巧建不等关系例7.给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点，设。若，求l在y轴上的截距的变化范围。解：设由，得联立（1）（2）（3）（4），解得所以或所以的方程为或当时，在y轴的截距为令，则所以在［4

6、，9］上是减函数故所以直线在y轴上截距的取值范围是：八.巧解数列问题例8.已知数列是等差数列，。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项，Sn是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。解：（1）由，有得因此（2）设（n为正整数）所以即在上是递增的从而即所以当时，当时，巧用函数思想解数列题从函数观点看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量从小到大取值时相应的一列函数值，因此，用函数思想解数列题，思路自然，方法简捷。1.利用周期性解题例1.在数列{an}中，已知，则等于（）A.－1B.－5C.1D.5解：因为

7、所以两式相加，得从而有即{an}是周期为6的数列，所以选A2.利用单调性解题例2.设，且n>1，求证证明：令则于是所以即an是n的单调递增函数，其中n＝2，3，4，…又所以当n＝2，3，4，…时，都有故3.利用图象解题例3.已知数列{an}的通项公式，则数列{an}的前30项中最大项与最小项分别为（）A.a1，a10B.a1，a9C.a10，a30D.a10，a9解：因为，由图象，知选D。4.分离参数解题例4.已知a>0且a≠1，数列{an}是首项为a，公比为a的等比数列，设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围。解：依题意，得，所以于是（1）当a>1时，

8、所以，故当时，所以故综上，得巧用判别式在解题中，大家往往会遇到有关一元二次方程（