巧构造妙解题教学设计

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1、巧构造妙解题——中考复习之一道质检题的思考教学设计泉州外国语中学黄全伟教学时间一课时课题巧构造妙解题课型习题复习课教学目标知　识和能　力掌握勾股定理、相似三角形判定与性质，正弦、余弦、正切概念；能正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，会用垂径定理。过　程和方　法逐步培养学生观察、比较、分析、转化、构造的思维能力。情　感态　度价值观提高学生对几何图形美的认识。教学重点正弦，余弦，正切概念及构造转化思想教学难点构造与转化教学准备教师多媒体课件，学案学生“整理归纳质检第23题，至少四种方法、质检卷、学习用具”课堂

2、教学程序设计设计意图一．回顾试题（2017泉州质检第23题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AD的中点，且AC，DC=1.（1）求证：AB=DE；（2）求tan∠EBD的值.二．展示（2）各种解法解法一：过点E作EF⊥BD于点F，勾股定理求AD=2，则DE=1利用△BDE面积相等，求出，勾股定理求出，，即可求出。解法二：过点D作DF⊥BE延长线于点F，学生刚参加完市质检，对题目的熟悉度较高，热情度较高，本题立足基本求线段长方法，构造直角三角形求锐角三角函数。适合用来复习巩固与提高。与法一同理利用△BDE面

3、积相等，求出DF,勾股定理求出即可求出的值。解法三：连接CE交BD于点F，易证△BCE是等腰直角三角形∠BEF=90°，勾股定理求出CE，△DEF∽△BCF可求出EF，即可求出的值。解法四：利用和角公式=tan(∠EBC-∠DBC)可求出。解法五：以点B为原点，边BC所在直线为X轴建立平面直角坐标系，可知点E、B、D的坐标，求出直线BD函数关系式，利用点到直线距离公式求出点E到直线BD的距离EF，勾股定理求出BF，即可求出的值。以上方法均为构造直角三角形，同学们是否可以考虑转化锐角∠EBD，将它转化到一个直角三角形中来求正切值呢？

4、（引导：∠EBD各种解法展示，让学生体验不同方法，发散思维，多角度解题思路，增强自主归纳能力。建立坐标系解法的出现，为第（3）步拓展的解题埋下伏笔。可以看作是定线段DE所对的张角，定线段DE是否可以对其它与之相等的张角呢？）生：可以构造圆。利用“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半”如下图，可以将∠EBD转化到∠EFD，而∠EDF=90°，△DEF是直角三角形。在第（2）问中此法显得繁琐，但请继续研究第（3）问，你如何解决。三．拓展提高（原创）（3）以点B为原点，边BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐

5、标轴上是否存在点M，使得tan∠DME与（2）中求得的值相等，若存在，请求出点M坐标，若不存在，请说明理由。分析：为了构造定线段DE所对张角相等的角，可以作出△BDE外接圆，在X轴上可找到点（与点B重合）和,在y轴上可以找到,定线段DE还可以构造在X轴上方的辅助圆，在y轴正半轴还可以找到点和，tan∠F=tan∠EBD=,求出DF后可知圆心P坐标，利用垂径定理可分别求出各点坐标分别是（0，0），（3,0），（0,-1），（0,2），（0,3）四．小结（学生自我总结）换角度思考，不一定只局限于构造直角三角形，可以利用定线段所对张角相

6、等，通过构造辅助圆把角转化。转化角在此类问题中，能起到化隐为显、化难为易的解题效果。不仅可以构造直角三角形来求锐角三角函数，还可以构造辅助圆，利用“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半”将锐角转化，达到化难为易的解题效果。本作业题可巩固本节课内容，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题。作业设计如图，在平面直角坐标系中，矩形的直角边、分别在轴的正半轴和轴的正半轴上，过点的直线交矩形的边于点，.(1)求点的坐标（用含、的代数式表示）；(2)若把沿折叠，使点恰好落在轴上的点处，①求与的函数

7、关系式(不需写出的范围)；②当时，在坐标轴上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.xyOPACBQ教学反思构造辅助圆巧解中考压轴题关于动点对定线段所张的角为定值问题，从表面看似与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果，还考查了学生创造性思维，有利于培养学生分析问题的能力。这里，构造辅助圆实则成了解题的关键。巧构造妙解题——中考复习之一道质检题的思考学案设计泉州外国语中学黄全伟（20

8、17泉州质检第23题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AD的中点，且AC，DC=1.（1）求证：AB=DE；（2）求tan∠EBD的值.各种解题方法展示：拓展：（3）以点B为原点，边BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在