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《第四章 迭代法4.1 2迭代过程的收敛性 迭代加速》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章方程求根的迭代法迭代法的思想压缩映像原理局部收敛性收敛性的阶第一节迭代过程的收敛性非线性方程的根求f(x)=0的根代数方程：f(x)=a0+a1x+...+anxn超越方程：f(x)含超越函数，如sin(x),ex,lnx等实根与复根根的重数f(x)=(x–x*)m·g(x)且g(x*)0,则x*为f(x)的m重根有根区间：[a,b]上存在f(x)=0的一个实根在有根的前提下求出方程的近似根。研究内容:(x)的不动点x*迭代法的思想f(x)=0x=(x)称为迭代函数等价变换基本思想从一个给定的初值x0出发，计算x1=(x0),x2=(x1),…若收
2、敛，即存在x*使得，则由的连续性和可得x*=(x*)，即x*是的不动点，也就是f(x)的零点。具体做法：不动点迭代f(x)的零点x*几何含义：求曲线y=(x)与直线y=x的交点xk+1=(xk)xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x2例x3x1=0,[1,2],取x0=1.5迭代公式1：迭代公式2：计算结果：公式1：公式2：怎么判断迭代公式收敛或发散呢？精确解x*=1.3247179...压缩映像原理定理4.1设
3、(x)C[a,b]且一阶导数连续，若(2)0L<1，使得
4、’(x)
5、L对x[a,b]成立则函数f(x)=x-(x)在[a,b]中有唯一的零点x*。(压缩映像原理，不动点原理)x*称为(x)的不动点(x*)=x*(1)a(x)b对一切x[a,b]都成立简证：f(a)=a-(a)0,f(b)=b-(b)0f(x)在[a,b]上有零点。唯一性：反证法，假设存在x*,y*[a,b]使得x*=(x*)y*=(y*)矛盾！封闭性压缩性收敛性分析定理4.1设(x)C[a,b]且一阶导数连续，若(2)0L<1，使得
6、’(x)
7、
8、L对x[a,b]成立(1)a(x)b对一切x[a,b]都成立则有(a)对任意x0[a,b]，由xk+1=(xk)产生的迭代序列均收敛到(x)在[a,b]中的唯一不动点x*。(b)有如下的误差估计可用
9、xk+1-xk
10、来控制收敛精度,L越小收敛越快.后验估计:先验估计:证:(a)由压缩映像定理可知，不动点x*存在且唯一。(b)又书上P129(7),(8)式全局收敛与局部收敛定理的条件保证了不动点迭代的全局收敛性。即迭代的收敛性与初始点的选取无关。这种在x*的邻域内具有的收敛性称为局部收敛性。定理中的条件
11、’(x)
12、L<1可以适当放宽(2’)
13、’(x)在x*的某个邻域内连续，且
14、’(x*)
15、<1由’(x)的连续性及
16、’(x*)
17、<1即可推出：若(x)的一阶导数连续,且满足条件(2’),则一定存在x*的某个邻域N(x*)=[x*-,x*+],使得对xN(x*)都有
18、’(x)
19、L<1,则由x0N(x*)开始的迭代都收敛。具有局部收敛性的迭代计算上不一定收敛，它是否收敛还要看初值是否取的恰当；而不具有局部收敛性的迭代对任何初值都不可能收敛。定理4.2例用不同方法求x23=0的根,取x0=2.迭代公式1：迭代公式2：迭代公式3：迭代公式4：计算结果：怎么判断收敛的迭代公式的速度快慢呢
20、？精确值：收敛性的阶设迭代xk+1=(xk)收敛到(x)的不动点x*。记绝对误差ek=xkx*，若定义则称该迭代为r阶收敛。(1)当r=1时称为线性收敛，此时
21、C
22、<1；(2)当r=2时称为二次收敛，或平方收敛；(3)当r>1时称为超线性收敛。不动点迭代中，若’(x*)0，且迭代收敛，则取极限得(C为常数)线性收敛.p阶收敛设迭代xk+1=(xk)，若(p)(x)在x*的某邻域内连续，则该迭代法具有p阶收敛的充要条件是定理4.3并且有证明：充分性.根据泰勒展开有必要性(不证).设迭代xk+1=(xk)是p阶收敛。迭代两边取极限，由(x)的连续性可
23、知x*=(x*)。设p0是满足的最小正整数。由充分性的证明过程可知迭代p0阶收敛。又若p0p，与迭代p0阶收敛矛盾.p0=p第四章方程求根的迭代法第二节迭代加速迭代加速设有不动点迭代：（在xk和x*之间）设：缺点：每次迭代需计算如何避免计算导数？简化：迭代加速设：“迭代-加速”格式迭代函数由变为所以此格式定义合理。故选择适当的D,可能使从而此迭代格式应该比原迭代格式的收敛速度更快！埃特金(Aitken)加速设：Aitken加速为了避免计算导数,还可以进行如下改进:Aitken加速的收敛阶定理设(x)在不动点x*的某个邻域内具
24、有二阶连续
