迭代法的建立与收敛性

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1、一.迭代法的建立与收敛性所以,为f的根的充要条件是为的不动点。§2.2迭代法前者收敛：1.5;1.35721;1.33086;1.32588;1.32494;1.32476;1.32473;1.32472;1.32472;…后者发散:1.5;2.375;12.39;…问题：何时收敛？xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xy=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p12.收敛定理定理2.2.1(2)即xn收敛。(2.2.1)(3)(4)注1：L越小，收敛越快。由定理结论(3

2、)或(2.2.2)，只要前后两次迭代值的差值足够小，就可使近似值达到任意的精度。在实际计算中，一般用来控制迭代过程结束。注2：定理条件非必要条件，可将[a,b]缩小，定义局部收敛性：定义2.2.1若存在的某邻域B={x

3、

4、x

5、},使由x0B开始的迭代都收敛,则称迭代法具有局部收敛性。定理2.2.2设(x)在的某邻域内具有连续的一阶导数，且

6、'()

7、<1，则迭代法xn+1=(xn)具有局部收敛性。证明省略。3．编程停机判断时，由（2.2.2）式知比较小，此时停机，（取定初值x0）计算，当由二.迭代法的收敛阶(收敛速度)则称xnp阶

8、收敛,相应的迭代法称为p阶方法.特别,p=1时叫线性收敛,此时要求00,使定义2.2.2:设定理2.2.3设(x)在的某邻域内有充分多阶连续导数，则迭代法xn+1=(xn)为p阶收敛的充要条件是()=()==(p-1)()=0，(p)()0.证明利用Taylor展开式（略）