概率论与数理统计离散型随机变量

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1、2.2-2.3离散型随机变量一、离散型随机变量的分布列二、离散型随机变量的分布函数三、常见的离散型随机变量的概率分布定义设离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2,…,xn,…设X取xi的概率，即事件{X=xi}的概率为一、离散型随机变量的分布列定义若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X为离散型随机变量P(X=xi)=pi（i=1,2,…）则称这组概率为随机变量X的概率分布(概率函数)或分布列（律）。离散型随机变量的概率分布亦可用概率分布表来表示Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…分布列的性质非负性规范性注意:离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(

2、1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．具体写出，即可得X的分布律：解：X的可能取值为5，6，7，8，9，10．并且=——求分布率一定要说明k的取值范围！例２袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/(8×7)

3、=15/56,类似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为X0123P5/815/565/561/56(2)Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为：(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56二、离散型随机变量的分布函数Xpk-1010.250.50.25求X的分布函数，并求•-1•0•1xx]]]•]••解：对于离散型随机变量X,其分布函数F(

4、x)是分段阶梯函数，在X的可能取值xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度pk(1)0–1分布X=xk10Pkp1-p0

5、数——X是一离散型随机变量.若P(A)=p,则X的分布律为若随机变量X具有上述概率分布，则称X服从参数为n,p的二项分布，记作特别当n=1时，二项分布为即为0-1分布。二项分布的图形例4一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件．试求下列事件的概率：B={取出的15件产品中恰有2件次品}C={取出的15件产品中至少有2件次品}由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是一15重Bernoulli试验．解：所以，取出的次品数于是例５一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.解

6、:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验.其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)(4)泊松分布（k=0，1，2，…）定义如果随机变量X的概率分布为在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；泊松分布的应用场合电话总机接到的电话次数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件，则称为Poisson流,在长为t的时间

7、内出现的质点数Xt~P(t)市级医院急诊病人数；等等例7设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X的分布律为由已知如果随机变量X的分布律为试确定未知常数c.例8由分布率的性质有解：(5)几何分布设用机枪射击一次击落飞机的概率为,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数服从参数为的几何分布，记.即容易验证，若在前m次射击中未击落飞机，那么,在此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布，该分布与m无关，这就是所谓的无记忆性.(6)超几何分布设有产品件，其中正品件，次品件（），从中随机地