t场论与张量运算简介

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1、第3章场论与张量运算简介何险峰2007年9月——传递过程原理本章内容流体力学基本概念一点的应力状态——应力张量场论二阶张量运算流体力学本构方程小结2流体力学基本概念连续介质假设和微团真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无空隙地充满着的。1.空间尺度（microscope,mesoscope,macroscope)2.时间尺度（飞秒、皮秒、纳秒、微秒、毫秒、秒）3流体力学基本概念拉格朗日方法着眼点：寻求质点位置变化规律4流体力学基本概念欧拉方法着眼点：寻求空间中每个点上描述流体运动随时间的变化状态5流体力学基本概念泰勒展开(T

2、aylorSeries)一维：三维：6流体力学基本概念欧拉方法表达加速度v泰勒展开：7流体力学基本概念流体速度分解定律——速度类型平移速度旋转速度变形速度例子：A.速度均匀的平移流动B.平行剪流C.简单的环形流动D.流线是圆形的无旋流动8流体力学基本概念流体速度分解定律——刚体运动ω：角速度9流体力学基本概念流体速度分解定律——旋度旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋涡,这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度称为旋度。旋度物理意义：刚体旋转时的2

3、倍旋转角速度10流体力学基本概念流体速度分解定律S：变形速度张量11流体力学基本概念涡量Ω=rotv12流体力学基本概念体力——单位体积流体上受到的力ρg面力——流体单位面积上受到的力与面有关，张量描述13一点的应力状态——应力张量张量的物理概念（Tensor)1.是矢量2.是面力，与作用面有关标量、矢量、n阶张量的关系14一点的应力状态——应力张量压力张量1.面力2.各向同性15一点的应力状态——应力张量剪应力张量τxy:剪应力的y分量作用于x面上的力16场论定义：设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间内的函数为场

4、17场论——场的分类标量场（温度场、密度场）矢量场（力场、电磁场、速度场）均匀场不均匀场定态场（不随时间改变）非定态场无源场（管式场）——散度为零无旋场（势场）——旋度为零18场论——标量、矢量和张量表示s=标量（不加黑的斜体字母）v=矢量（加黑的斜体字母）τ=张量（加黑的希腊字母）19矢量的定义矢量定义：具有一定的量值和方向的量矢量相等：量值相等、方向相同（可以是非共线、非同一作用原点)20矢量加减法矢量加减法交换率v+w=w+v结合率(v+w)+u=v+(w+u)21矢量乘法——矢量和标量矢量和标量的乘法交换率（OK）：sv=vs结合率

5、（OK）：r(sv)=(rs)v分配率（OK）：(q+r+s)v=qv+rv+sv22矢量乘法——点乘两个矢量标量积（点乘、点积）交换率（OK）：u●v=v●u结合率（NA）：(u●v)w≠u(w●v)分配率（OK）：u●{v+w}=u●v+u●wv●v=?几何意义？23矢量乘法——叉乘两个矢量矢量积（叉乘、叉积）交换率（NA）：结合率（NA）：分配率（OK）：几何意义？24张量乘的阶数计算张量乘的阶数乘法符号结果的阶数例子无Σv，vwxΣ-1v×w,uv×uw.Σ-2v·w,uv·wv:Σ-4uv:wv标量—0阶张量；矢量—1阶张量；张量

6、—本课通指2阶张量25标量、矢量和张量乘结果的表示标量、矢量和张量乘结果的表示括号类型结果类型例子（）标量(v·w)[]矢量[v×w]{}张量{uv+wv}26以分量表示的矢量运算克罗内克符号(KroneckerDelta）符号δij交错单位张量εijk27δij和εijk的关系δij和εijk的关系三阶行列式的分量表示法28单位矢量的点乘右手坐标单位矢量的点乘29单位矢量的叉乘单位矢量叉乘30矢量以分量方式展开矢量以分量展开矢量的量值31以分量表示的矢量运算矢量加减法矢量的点乘矢量的叉乘32多重矢量的乘法——例1几何意义：计算u,v,w组

7、成平行六面体的体积33多重矢量的乘法——例234矢量的微分运算哈密尔顿(Hamilton)算符（nabla/del）直角坐标系中的表达35标量场的梯度（gradient）定义：又称为：grads36矢量场的散度（divergence）定义：又记为：divv37矢量场的旋度（rotation)定义：又记为：rotv或者curlv38标量场的Laplace算符定义：Δ称为Laplace算子直角坐标系中39标量场的随体导数随体导数定义：标量场的随体导数：40矢量场的随体导数标量场的随体导数：只在直角坐标系成立41二阶张量定义和符号张量的量值42并

8、矢量并矢量可以看成矢量v和矢量w的转置的行列式乘积幷矢量定义43单位幷矢量及张量的分量表示单位幷矢量…….张量的分量表示（并矢量表示）直角坐标系中的意义44单位并矢量的基本运算单