§5.2 化二次型为标准形

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1、1设5.2.1、二次型的变量替换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．§5.2化二次型为标准形2证明即为对称矩阵.3说明4定义设A,B都是n阶方阵,如果存在可逆阵C，使CTAC=B，则称A与B合同,记成A≌B.此时也称矩阵A经过合同变换化为矩阵B.合同关系具有以下性质：(证明见P217)（1）自反性：A≌A.（2）对称性：若A≌B则B≌A.（3）传递性：若A≌B，B≌C则A≌C.（4）A与B合同，则r(A)=r(B).合同→等价，合同→等秩，反之都不成立．但不等秩，则一定不合同.矩

2、阵合同的定义与矩阵相似的定义很类似，也是n阶方阵之间的一种等价关系.即55.2.2、用配方法化二次型为标准型问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．用线性变换化二次型为标准形，等价于二次型的矩阵经合同变换化为对角阵．由上一章可知对称矩阵可经正交变换化为对角阵．61.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，

3、但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.7解例1含有平方项去掉配方后多出来的项89所用变换矩阵为10解例2由于所给二次型中无平方项，所以11再配方，得12所用变换矩阵为13对A交替作初等行变换和相应的初等列变换，对A作列变换时，同时对E作相同的列变换，当A化作标准形时，E就化作了C.这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵.即.5.2.3、用初等变换法化二次型为标准形矩阵的初等变换法是对二次型矩阵A，构造一个2n×n的矩阵，14分析：由于左上角的元素为0，而主对角线上第二个元素不为0，将第一

4、列和第二列交换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不为0.例3用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性变换。15解：16由此得标准形所用的可逆线性变换为175.2.4、用正交变换法化二次型为标准形18用正交变换化二次型为标准形的具体步骤19化为标准型，并指出表示何种二次曲面.例求一正交变换，将二次型202122235.2.5、二次型的规范型有标准型则称这个标准型是原二次型的规范型。定义设n元二次型24定理任一个二次型都可以经过非退化线性变换化为规范型。或者说，任一个对称矩阵都合同于一个对角阵，并且这个对

5、角阵的对角线元素是1，-1或0。化为标准型证明：设n元二次型25作非退化线性变换26定理任一个二次型它的规范型是唯一的。即规范型中正项的个数和负项的个数是由原二次型唯一确定的。证明：设n元二次型2728定义二次型的规范型中正项的个数叫二次型的正惯性指标；负项的个数叫二次型的负惯性指标；它们的差叫二次型的符号差。295.2.6、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法和初等变换法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方

6、法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．30解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例231从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组324．将正交向量组单位化，得正交矩阵33于是所求正交变换为