《概率论与数理统计》课件之2

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1、§1.3频率与概率设在n次试验中，事件A发生了m次，频率则称为事件A发生的频率39频率的性质事件A,B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性归一性可加性稳定性某一定数40投一枚硬币观察正面向上的次数n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005频率稳定性的实例蒲丰(Buffon)投币皮尔森(Pearson)投币41例DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不

2、同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.000642概率的统计定义概率的定义在相同条件下重复进行的n次试验中,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,且随n越大

3、摆动幅度越小,则称p为事件A的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用43设是随机试验E的样本空间，若能找到一个法则，使对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A),称之为事件A的概率，这种赋值满足下面的三条公理：非负性：归一性：可列可加性：其中为两两互斥事件，概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立的概率的公理化定义公理化定义44概率的性质有限可加性:设两两互斥若45对任意两个事件A,B,有BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–A)B-AAB46加法公式：对任意两个

4、事件A,B,有推广：47一般：右端共有项.48例1小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率(2)(3)例149课后同学问：例1中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？若是的话,则应有而现在题中并未给出这一条件.在§1.4中将告诉我们上述等式成

5、立的条件是：事件相互独立.50例2设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在时取得——最小值——最大值最大值在时取得例251课上有同学提问最小值是否正确？例2中回答当时,取得这相当于问如下命题是否成立答：不成立！⊛⊛式是“羊肉包子打狗”——有去路,没回路为什么呢？学了几何概型便会明白.52设随机试验E具有下列特点：基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生则称E为古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记则概率的古典定义古典概型§1.4等可能(古典)概型5

6、3例3袋中有a只白球，b只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m个球（),求其中恰有k个（）白球的概率解（1）不放回情形设E:球编号,任取一球,记下颜色,放在一边，重复m次记事件A为m个球中恰有k个白球，则例354则55又解设E1:一次取m个球,记下颜色记事件A为m个球中有k个白球，则不放回地逐次取m个球,与一次任取m个球算得的结果相同.因此称超几何分布56（2）放回情形E2:球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复m次记B为取出的m个球中有k个白球,则称二项分布57设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中（）,设每个盒子容

7、球数无限,求下列事件的概率:（1）某指定的k个盒子中各有一球；（4）恰有k个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；（2）某指定的一个盒子恰有m个球()（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例4（分房模型）例458解设(1)~(6)的各事件分别为则59例5“分房模型”的应用生物系二年级有n个人，求至少有两人生日相同（设为事件A)的概率.解为n个人的生日均不相同,这相当于本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”若n=64，每个盒子至多有一个球.由例4（6）例560解例6在0,1,2,3,,9

8、中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.设A为“能排成首位非零的四位偶数”四位偶数的末位为偶数,故有种可能而前三位数有种取法,由于首位为零的四位数有种取法,所以有利于A发生的取法共有种.例661解设A表示事件“n次取到的数字的乘