概率论与数理统计课件(2)

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1、第10章点估计1第1节点估计问题2在实际中常碰到的问题是所研究的总体分布类型已知,但分布中含有一个或多个未知参数,或者,总体的分布类型未知，但我们所关心的只是总体中的某些数字特征，例如：3又如：通常把这些数字特征也称为参数，诸如此类问题都需要从总体中抽取样本，然后利用样本给出参数的估计。4并且在一定可靠度下使这个范围包含未知参数的真值。参数估计：根据样本给出参数的估计。:用一个数值来估计未知参数:用一个范围(区间)来估计，5参数空间6点估计的概念7注：估计量是样本的函数，是一个统计量，而同一参数可以构造不同的统计量用以估计。8第2节点估计方法9一、矩估计

2、：用样本矩替代同阶总体矩。101112例1设总体X服从(0,q)上的均匀分布,q未知.X1,…,Xn为X的样本,试求参数q的矩估计.解：列出方程得即13例2设总体X分布未知,X1,…,Xn为X的样本,试求总体均值μ和方差σ²的矩估计.解：列出方程即得14例3设总体X服从参数为λ的指数分布,λ>0未知,X1,…,Xn为X的样本,试求参数λ的矩估计.解：列出方程得即15解：列出方程即例4设总体X服从(θ1,q2)上的均匀分布,q1<θ2未知,X1,…,Xn为X的样本,试求参数q1,θ2的矩估计.得16注：矩估计法是一种简单方便、应用广泛的传统估计方法，实际应用

3、时一般并不要求知道总体分布的具体形式，但必须假定与总体有关的各阶矩存在，而且矩估计法的精度一般较差。17二、最大似然估计（极大似然估计）特点：只适用于总体的分布类型已知的统计模型。引例某同学与一位猎人一起去打猎,一只野兔从前方窜过,只听一声枪响,野兔应声倒下,试猜测是谁打中的?181.最大似然估计法的思想:在已经得到实验结果的情况下,应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个q值作为q的估计.注:最大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出,英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步的研究.19定义1似然函数2021定义2最大似然估计222.求最

4、大似然估计的一般方法求未知参数q的最大似然估计问题,归结为求似然函数L(q)的最大值点的问题.当似然函数关于未知参数可微时,可利用微分学中求最大值的方法求之.23求解步骤：24例5设总体X服从参数为λ的指数分布,λ>0未知.X1,…,Xn为X的样本,试求参数λ的最大似然估计量.解指数分布的密度函数为25似然函数为则L(λ)的最大值一定为xi>0时的最大值。26对数似然函数为列出似然方程27得λ的最大似然估计为故为λ的最大似然估计量。28解正态分布的密度函数为例6设x1,x2,…,xn是正态总体N(m,s2)的样本观察值,其中m,s2是未知参数,试求m和s2

5、的最大似然估计值和最大似然估计量.29似然函数为对数似然函数为30列出似然方程31解得m和s2的最大似然估计值为最大似然估计量为32例7设总体X服从(0,q)上的均匀分布,q未知.X1,…,Xn为X的样本,x1,…,xn为样本值.试求q的最大似然估计.显然无法从L'(q)=0得到最大似然估计.我们考虑直接按最大似然估计的基本思想来确定.解似然函数为33欲使L(q)最大,q应尽量小但又不能太小,它必须同时满足qxi,i=1,…,n,否则L(q)=0,而0不可能是L(q)的最大值.因此是最大似然估计值和估计量.34第3节点估计的优良性35同一参数可以有多种看

6、来都为合理的估计，因此有一个优劣的比较问题，这就要建立优良性准则，为此我们介绍几个常用的评选标准:(1)无偏性;(2)有效性;(3)相合性(一致性)361、无偏性定义137382、有效性定义239例403、相合性定义341例设总体X～N(m,s2),X1,…,Xn为其样本.证明：修正样本方差S*²是s2的相合估计.42