第十章双线性函数与正交空间,辛空间

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1、辽东学院教案纸课程：高等代数第10.1.7页第十章双线性函数与正交空间、辛空间引言本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．§1对偶空间教学目的通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解．教学内容本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念．1.1线性函数设V是数域F上的一个向量空间．定义1设f∈Hom(V，F)，即"a，b∈

2、V，"k∈F，都有f(α+β)=f(α)+f(β)，f(kα)=kf(α)，则称f为V上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．由于f∈Hom(V，F)，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．例1定积分使每一个连续函数f(x)对应一个实数,并且满足．所以定积分是C[a，b]上的一个线性函数．例2矩阵的迹把数域F上每一个n阶矩阵A=(aij)nn对应F中的一个元素,并且有Tr(A+

3、B)=TrA+TrB，Tr(kA)=kTrA．所以矩阵的迹是Mn(F)上的一个线性函数．例3在数域F上的一元多项式环F[x]中，未定元x用F中的一个元素t代入，它把每一个多项式f(x)对应F中的元素f(t辽东学院教案纸课程：高等代数第10.1.7页)．由于未定元x用t代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x用t(t∈F)代入是向量空间F[x]上的一个线性函数．例4给定F中的n个元素a1，a2，…，an，"()∈Fn，规定，(1)容易验证f保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f是Fn上

4、的一个线性函数．请注意，在数学分析中，把形如的n元函数g叫做线性函数．若b≠0，则g不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，从而g不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．我们来讨论有限维向量空间V上的线性函数f的表达式．设V是数域F上的n维向量空间，f是V上的一个线性函数．在V中取一个基．由于f可以看成是向量空间V到向量空间F的一个线性映射，因此f完全被它在V的一个基上的作用所决定．即只要知道，就可以知道V中任一向

5、量在f作用下的象．(2)(2)就是线性函数f在基α1，…，αn下的表达式．它表明，f在β上的函数值f(β)是β的坐标x1，…，xn的一次齐次多项式．进而考虑数域F上n维向量空间V上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见定理10.1.1设V是F上一个n维向量空间，α1，α2，…，αn是V的一个基，a1，a2，…，an是F中任意取定的n个数，则存在V上唯一确定的线性函数f，使得f(αi)=ai，i=1，2，…，n．(3)因此，∈V，则β在f下的象为．1.2对偶空间辽东学院教案纸课程：高等代数第10.1.7页

6、设V是F上的一个向量空间，Hom(V，F)是V的所有线性函数组成的集合，我们来讨论Hom(V，F)的结构，以及它与V的关系．从第七章§2知道，Hom(V，F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的线性函数空间，也记作T1(V)．以下设V是n维向量空间．注意到F看成自身上的向量空间是1维的，因而有dimHom(V，F)=dimFn´1=n．这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V．在V中取一个基α1，α2，…，αn，我们来找Hom(V，F)的一个基．由于Hom(V，F)是n维

7、的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了．由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)=…=f1(αn)=0；给定F中n个元素0，1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α2)=1，f2(αj)=0，j≠2；……；给定F中n个元素0，…，0，1，则存在V上唯一的线性函数fn，使得fn(αn)=1，fn(αj)=0，j≠n．这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，…，fn，其中fi(1≤i≤n)

8、在基向量上的函数值为fi(αj)=δij，(4)这里δij是Kronecker记号．现在我们断言f1，f2，…，fn是线性无关的．设k1f1+k2f2+…+knfn=0，(5)并作用αj，则得k1f1(αj)+k2f2(αj)+…+knfn(αj)=0．于是由(4)推得kj=0，j=1，…，n．因此f1，f2，…，fn线性无关．综上所述，f1，f2，…，fn是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得到定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空