欧氏空间与双线性函数

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1、欧氏空间与双线性函数基本概念1.欧几里得空间设V是实数R上一线性空间，在V上定义了一个二元函数，称为内积，记作（），它具有以下性质：（1）（）=（）；（2）（）=k();（3）()=()+();（4）（）≥0，当且仅当=0时，（）=0。这里是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。2.酉空间设V是复数C上的线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（），它具有以下性质：（1）（）=（）；这里（）是（）的共轭复数；（2）（）=k();（3）()=()+();（4）（）≥0，当且仅当

2、=0时，（）=0。这里是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。3.向量的长度非负实数称为向量的长度，记为。4.向量的夹角非零向量的夹角规定为=,05.向量正交如果向量的内积为零，即（）=0，那么正交，记为。6.基的度量矩阵.是n维欧氏空间的V一组基,令，,称为基的度量矩阵。7.正交向量组欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。8.正交基、标准正交基在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。9.正交矩阵、酉矩阵n级实矩阵

3、称为正交矩阵,如果。n级复矩阵称为酉矩阵,如果。10.欧氏空间同构实数域R上欧式空间V与V'称为同构的,如果由V到V'有一个双射,满足（1）(=（2）（3这里V，kR，这样的映射称为V到V'的同构映射。11.正交变换、酉变换欧氏空间V的线性变换如果满足则称为V的一个正交变换。酉空间V的线性变换如果满足则称为酉空间的一个酉变换。12.子空间正交、向量与子空间正交设是欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的恒有（）=0则称为正交的，记为。一个向量，如果对于任意的，恒有（）=0则称与子空间正交，记为。13.子空间的正交补

4、子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且。14.欧氏空间V的线性变换如果满足则称为V的一个对称变换。15.向量之间的距离长度称为向量和的距离。16.最小二乘解实系数线性方程可能无解，即任何一组实数都可能使（1）不等于零。使等式（1）成立的最小实数组称为方程组的最小二乘解。17.对称矩阵，Hermite矩阵如果，则称矩阵为对称矩阵。如果，则称矩阵为Hermite矩阵。18.Hermite二次型设为Hermite矩阵，二次齐次函数称为Hermite二次型。19.线性函数设是数域上的一个线性空间，是到的一个映射，如果满

5、足（1）（2）其中是中任意元素，是中任意元素，则称是上的一个线性函数。20.对偶空间、对偶基设是数域上的一个n维线性空间，上全体线性函数组成的集合记作。用自然的方法在上定义加法和数量乘法，成为数域上的线性空间，称为的对偶空间。设是数域上的一个n维线性空间,是的一组基，作上n个线性函数,使得则为的一组基，称为的对偶基。21.双线性函数是数域上的一个线性空间，是上一个二元函数，即对中任意两个向量，根据都唯一地对应于中一个数，如果有下列性质:(1);(2);其中是中任意向量，则称为上的一个双线性函数。22.双线性函数的

6、度量矩阵设是数域上n维线性空间上的一个双线性函数。是的一组基，则矩阵叫做在基下的度量矩阵。23.非退化的双线性矩阵设是线性空间上一个双线性函数，如果对任意，可推出，就叫做非退化的。24.对称双线性函数，反对称双线性函数是线性空间上一个双线性函数，如果对中任意两个向量都有则称为对称双线性函数，如果对中任意两个向量都有则称为反对称双线性函数。25.双线性函数对应的二次齐次函数设是数域上的线性空间，是上双线性函数，当时，上函数称为与对应的二次齐次函数。26.双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间设是数域上的线性空

7、间，在上定义了一个非退化双线性函数，则称为一个双线性度量空间，当是非退化对称双线性函数时，称为上的正交空间；当是n维实线性空间，是非退化对称双线性函数时，称为准欧氏空间，当是非退化反对称双线性函数时，称为辛空间。基本结论1.柯西-布涅柯夫斯基不等式欧式空间中的任意向量有当且仅当线性相关时，等号才成立。2.度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的。3.n维欧式空间中任何一个正交向量组都能扩充成一组正交基。4.对于n维欧式空间中任意一组基，都可以找到一组正交基使其中。5.是正交矩阵是n维欧氏空间V中两组标准正交基之

8、间的过渡矩阵。,其中是正交变换，是V的一组标准正交基。6.是n维欧氏空间的一组标准正交基基的度量矩阵为单位矩阵。存在基准正交基及正交矩阵。使7.两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。8.设是n维欧氏空间的一个线性变换，以下四个命题是等价的：（1）保持内积不变，即对任意的，，都有=（2）保持向量的长度不变，即，；（3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基。（