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2、24概率论中心极限定理概率论在极限问题中的应用24概率论在极限问题中的应用毕力格图,常桂花(内蒙古兴安职业技术学院;内蒙古兴安盟特殊教育学校,内蒙古乌兰浩特137400) 摘要:通过建立概率模型、利用概率论相关定理解决了复杂的求极限问题。关键词:概率模型;极限;中心极限定理;密度函数中图分类号:O211文献标识码:A文章编号:167323118(2006)0420052204 数学分析是概率论的基础,而概率论是具有广泛应用的数学分支。对于某些复杂的极限问题如果使用数学分析中的方法是很难解决的,
3、但利用概率论方法来解决是很简便的。一、构造概率模型求极限设广义的贝努力试验U只有两个基本事件A、CUA,将随机试验U独立重复地做n次,在第k次试验中A出现的概率为Pk,A不出现的概率为1-Pk,(0k-1Vk=Pki=1∏(1-Pi) (k=1,2,3,………)在K次试验中A不出现的概率为kFk=ni=1∏(1-Pi) (K=1,2,3,………)又设Mn=从而有j=1∑V,则Mjn+Fn=1n24lim(Mn+Fn)=1ϖ∞n即nnlimϖ∞j=1∑P∏(1ji=1j-1jj-1-Pi)+i=
4、1∏(1-nPi)=1因此,nnϖj-1lim∞j=1∑P∏(1i=1-Pi)=1-limϖ∞i=1∏(1-Pi)例1 求极限:nlimnϖ∞解:设 Pm=则2m=1∑1-815=1-m+6m+8(m+3)8……1-2224m+4m+324m+6m+8 ,显然0-1收稿日期:2006-04-05作者简介:毕力格图(1966———),男,内蒙古兴安盟职业技术学院数学系讲师,研究方向:教育统计;常桂花(1970———),女,内蒙古兴安盟特殊教育学校高级讲师。n nlimϖ∞=limnm=1n∑1-
5、m8151-8……1-2224m+4m+3m+6m+8nϖ∞m=1∑P∏(1-i=1nm-1Pi)=1-nlimϖ∞i=1∏(1-Pi)而nn nlimϖ∞=limi=1∏(1-Pi)=limϖ∞i=1∏1-172839……nϖ∞354657()()=1=limnϖ∞30(n+1)(n+2)15故8lim1-∑nϖ∞m=115例2 求极限:nnn(i+3)2-1()()(n+1)(n+3)()(n+2)(n+4)1-8148……=1-221524m+4m+3m+6m+8mlimϖ∞m=1()(m+
6、1)(m+2)(m-1)!(m+1)!解:设Pm=则() ,显然0(m+1)(m+2)m(m+3)2=(m+1)(m+2)(m+1)(m+2)1-Pm=1-因此m-1 Pmi=1∏(1-Pi)=()2(m+1)(m+2)2.3m23.424.5……2m(m+1)()=(m+1)(m+2)(m-1)!(m+1)!故n limnϖ∞m=1n∑()(m+1)(m+2)(m-1)!(m+1)!m-1m=limnϖ∞m=1Pmni=1∏(123.4-Pi)=1-limnϖ∞i=1∏(1-22.3Pi)=1-
7、limn24.5ϖ∞………=1(n+1)(n+2)=1-limn2n+1(n+1)!(n+2)!ϖ∞即nnlϖim∞m=1(m+3)2m=1(m+1)(m+2)(m-1)!(m+1)!例3 求极限:nlimϖ∞1222+1-+1-32.33.42.31-1-2+…….53.442 +1-22.322……21-3.4n(n+1)(n+1)(n+2)━54━24解:设 Pm=1-则1-Pm=1-故 nlimϖ∞(m+1)(m+2)JournalofBaichengNormalCollege
8、Vol.204,2006 ,显然 02(m+1)(m+2)=m(m+3)(m+1)(m+2)1222+1-+1-32334232231-23n1-2344225+…… +1-n4……1-n(n+1)(n+2)n(n+1)=limnϖ∞m=1∑m-1Pmi=1∏(1-Pi)=1-limϖ∞i=1∏(1-Pi)n(n+3)(n+1)(n+2)lim14nϖ∞23n+3=1-=3(n+1)=1-2534233465……(n-1)(n+2)n(n+1)即 lim24nϖ∞12
