概率论论文-浅谈中心极限定理

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1、浅谈中心极限定理摘要：中心极限定理的产牛具有一定的客观背景，最常见的是林德们格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际屮的应用相当广泛。木文讨论了屮心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这

2、样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计Z间承前启后的一个重要纽带。王勇老师讲到屮心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。由此足以见得小心极限定理的重要性。目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理：林德伯格-莱维中心极限定理：设｛X」是独立同分布的随机变量序列，且==>0存在,若记XX/-y.=/=,则对任意实数y,有,1limP{my}=e（y）=「.——e2dr."T8」-8丁2兀这个

3、屮心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。只有当n充分大时，人才近似服从标准正态分布“（0,1）,而当门较小时，此种近似不能保证。也就是说，在n充分大时，可用"（°」）近似计算与益有关事件的概率，而n较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当人~N（°」）吋，则有SX,〜NO屮/=!，巾2）,壬〜N（“,冬）n现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。在

4、这些行业中就会用得到中心极限定理。例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为2二2的泊松分布，若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年屮售出700辆以上汽车的概率。[1]解：设空为第i天出售的汽车的数量，则X&+E+……+§365为一年的总销量，由E($)=畑(纟)=2,知E©=365X2=730利用屮心极限定理得尘(700-730)P(^>700)=l-P(^^700)^1—V730-二卜①(一i.n)=o.8665在理论中，我们也可用它來解决一些比较抽象的问题，比如下面的极限求解问题。例如，利用中心极限定理证明：li

5、me-"£^=丄态£!2⑴证明：设｛'｝独立同分布且'〜P(l),k=l,2…….则a二氏乞)习，=%T由泊松分布的可加性知心1〜P(n)”YA"工心pk=k=0/=!“£k=Ok'・彳滋-必0k=)又•・•由中心极限定理知:p£(^,-i)

6、厂二:S”一Wft它表明，n充分大时，Wpq分布近似服从与标准正态分布，常称为“二项分布收敛于正态分布”，正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。棣莫弗-拉普拉斯屮心极限定理的应用也很广泛，例如：假设某校要建新校区，里面有学生5000人，只有一个开水房。由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1%的时问要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：(1)未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？

7、(2)至少要装多少个水龙头，才能以95%以上的概率保证不拥挤？[2]解：(1)设同一时刻,5000个学生中占用水龙头的人数为X,则X~5(5000，°・°1)‘5000、O.O1aO.995000^拥挤的概率是:45p=P(§>45)=1-P(0%545)=1■工k=()由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理,n=5000,p二0.01,q二0.99,np=50,冷npq=7.04故45-500-50?(0<^<45)=0()一二飒一0.71)一0(—7.1)二0.23897.047.04即拥挤的概率为p(^>45)=1-0.2389=0.7611(2)欲

8、求m,使得P<°--°*95,则由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知,由于0(0-507.040(m一507.04□)-0(