第8章 平面问题的复变函数解

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1、第八章平面问题的复变函数解知识点双调和方程的复变函数表达形式应力分量复变函数表达式应力分量的单值条件多连域的K-M函数无穷远应力与K-M函数位移分量的曲线坐标表达保角变换公式与K-M函数柯西积分确定K-M函数孔口应力裂纹前缘应力分布双调和函数的复变函数形式位移分量的复变函数表达形式位移分量的单值条件无限大多连域中K-M函数的一般形式保角变换和曲线坐标应力分量的曲线坐标表达式利用孔口边界条件确定K-M函数椭圆孔口的保角变换裂纹—短轴为零的椭圆切应力作用的裂纹前缘应力一、内容介绍通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。但是，这些

2、方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。求解分析步骤为：1、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M函数表示；2、探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；3、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；4、将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。如果你还没有学习复变函数课程，请

3、你学习附录2或者查阅有关参考资料。二、重点1、K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；2、无限大多连域的K-M函数形式；3、保角变换与曲线坐标；4、椭圆孔口与平面裂纹问题。§8.1应力函数的复变函数表示学习思路：42弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。对于复变函数解，重要的问题是将双调和函数表达为复变函数形式。本节首先将双调和方程表示为复变函数形式；然后通过积分用解析函数表示双调和函数。学习时应该注意：应力函数为实函数，通过复变函数表达的双调和函数也是实函数，因此应力函数虚部等于

4、零。上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和y(z)表示。和y(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数；或者称为复位势函数。学习要点：1、双调和方程的复变函数表达形式；2、双调和函数的复变函数形式1、双调和方程的复变函数表达形式在弹性力学的复变函数求解中，应力函数用U（x，y）表示，有其它定义。设应力函数U（x，y）为双调和函数，首先考虑变形协调方程的复变函数表达形式。对于复变函数z=x+iy，取其共轭，则=x-iy。因此z和均为x，y的函数。复变函数z可以写作z=reij，其共轭=re-ij，因此z和又可以表示为

5、坐标r和j的函数。同理，x，y也可以表示为z和的函数，有因此，应力函数也可以表示为复变函数z和的函数，有注意到应力函数U（x，y）对坐标x，y的导数也可以表示为对复变函数z和的求导运算，有42将上式的后两式相加，可以得到调和方程的复变函数表达形式双调和方程的复变函数表达式为2、双调和函数的复变函数形式对于应力函数U（z）的复变函数表示。将双调和方程的复变函数表达式乘以2，并对作积分，可得对再作一次积分，可得对z作一次积分，可得对z再作积分一次，可得应力函数U(z)的复变函数表达式中，有四个待定函数。注意到应力函数为实函数，因此公式右边的复

6、变函数的虚部必须为零。所以上述函数必须是两两共轭的，即42或者因此应力函数可以用两个待定函数表示为或者上述公式称为古尔萨（Goursat）公式。公式将双调和函数通过两个复变函数和c(z)表达。和c(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数，均为单值解析函数。Re为表示复变函数实部的符号。§8.2应力分量的复变函数表示学习思路：应力函数已经通过K-M函数表示，但是这还不够，为了下一步的工作，本节的工作是将应力分量表示为复变函数形式，即使用K-M函数表示应力分量。这一工作的主要内容是写出K-M函数对直角坐标的偏导数，应该注意，本章

7、应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。本节引入复变函数，和这主要是简化公式的描述，并没有增加未知函数。上述函数均称为K-M函数。学习要点：1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示；2、应力分量表达式1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示对于无体力的弹性力学问题。如果选取的应力分量满足42则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的。这里的问题是选取的应力函数是复变函数形式表达的，而且是由K-M函数描述的。因此，应力分量也必须通过K-M函数表达。根据公式有将上述两式相加，可以得到将上式分别对x和y求一阶导数，可得其中2、应力分量表达式上

8、述公式的第一式减去第二式乘以i，可得42即将公式的第一式加上第二式乘以i，可得取其共轭，则上述公式推导中，引入和。公式是用单值解析函数和y(z)表示的应力分量，自然满足平衡微分方程和变形协调方