复变函数：第3章复变函数的积分

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3.1.1复变函数的积分3.1复变函数积分的概念3.1.1积分的定义本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。 3.1.2积分存在的条件及其计算方法1)当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。 3.1.3积分的性质从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向. 3.1.3积分的性质1234 例1计算其中为从原点到点的直线段。解直线的方程可写成又因为容易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值无论是怎样的曲线都等于 例2计算其中为以中心，为半径的正向圆周,为整数.解:的方程可写成所以因此 例3计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段：解: 例4计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，1）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。解: 3.2柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理3.2.1积分与路经无关问题积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即 3.2.3几个等价定理定理一如果函数在单连域内处处解析，那末积分与连结从起点到终点的路线无关.定理二如果函数在单连域内处处解析，那末函数必为内的解析函数,并且 原函数的概念下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：结论：的任何两个原函数相差一个常数。利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。 定理三如果函数在单连域内处处解析，为的一个原函数，那末这里为区域內的两点。 例5计算解： 例6计算解： 例7计算解： 例8计算解： 3.3基本定理的推广—复合闭路定理我们可以把柯西—古萨基本定理推广到多连域的情况.在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理. 例9计算的值，为包含圆周在内的任何一条正向简单闭曲线。解: 3.4柯西积分公式定理(柯西积分公式)如果函数在区域内处处解析，为内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于,为内的任一点,那末(3.4.1)公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示. 例10计算(沿圆周正向)解由公式(3.4.1)得 例11计算(沿圆周正向)解由公式(3.4.1)得 柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具(见3.5解析函数的高阶导数).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 3.5解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理 定理解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于. 例12计算其中为正向圆周:解:由公式(3.5.1)得