数学谬论证明大全

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1、今天上数学课各种好玩的东西。于是就找到好多这个来分享一下。。。当然不是我写的。。。并且大部分的人好像只会去看第一个就不想看了。。。这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。1=2？史上最经典的“证明”设a=b，则a·b=a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b-b^2=a^2-b^2。注意，这个等式的左边可以提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·(a-b)=(a+b)(a-b)。约掉(a-b)有b=a+b。然而a=b，因此b=b+b，也即

2、b=2b。约掉b，得1=2。这可能是有史以来最经典的谬证了。TedChiang在他的短篇科幻小说DivisionbyZero中写到：引用Thereisawell-known“proof”thatdemonstratesthatoneequalstwo.Itbeginswithsomedefinitions:“Leta=1;letb=1.”Itendswiththeconclusion“a=2a,”thatis,oneequalstwo.Hiddeninconspicuouslyinthemiddleisadivisio

3、nbyzero,andatthatpointtheproofhassteppedoffthebrink,makingallrulesnullandvoid.Permittingdivisionbyzeroallowsonetoprovenotonlythatoneandtwoareequal,butthatanytwonumbersatall—realorimaginary,rationalorirrational—areequal.这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以a-b的，因为我们假设

4、了a=b，也就是说a-b是等于0的。无穷级数的力量(1)小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…一方面：1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=[1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]+…=0+0+0+…=0另一方面：1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+[(-1)+…=1+0+0+0+…=1这岂不是说明0=1吗？后来我又知道了，这个式子还可以等于1/2。不妨设S=1+(-1)+1+(-1)+…，于

5、是有S=1-S，解得S=1/2。学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。无穷级数的力量(2)同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令x=1+2+4+8+16+…则有：2x=2+4+8+16+…于是：2x-x=x=(2+4+8+16+…)-(1+2+4+8+16+…)=-1也就是说：1+2+4+8+16+…=-1平方根的阴谋(1)定理：所有数都相等。证明：取任意两个数a和b，令t=a+b。于是，a+b=t(a+b)(a-b)=t(a-

6、b)a^2-b^2=t·a-t·ba^2-t·a=b^2-t·ba^2-t·a+(t^2)/4=b^2-t·b+(t^2)/4(a-t/2)^2=(b-t/2)^2a-t/2=b-t/2a=b怎么回事儿？问题出在倒数第二行。永远记住，x^2=y^2并不能推出x=y，只能推出x=±y。平方根的阴谋(2)1=√1=√(-1)(-1)=√-1·√-1=-1嗯？只有x、y都是正数时，√x·y=√x·√y才是成立的。-1的平方根有两个，i和-i。√(-1)(-1)展开后应该写作i·(-i)，它正好等于1。复数才是王道考虑方程x^

7、2+x+1=0移项有x^2=-x-1等式两边同时除以x，有x=-1-1/x把上式代入原式中，有x^2+(-1-1/x)+1=0即x^2-1/x=0即x^3=1也就是说x=1。把x=1代回原式，得到1^2+1+1=0。也就是说，3=0，嘿嘿！其实，x=1并不是方程x^2+x+1=0的解。在实数范围内，方程x^2+x+1=0是没有解的，但在复数范围内有两个解。另一方面，x=1只是x^3=1的其中一个解。x^3=1其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0，容易看出

8、x^3=1的两个复数解正好就是x^2+x+1的两个解。因此，x^2+x+1=0与x^3=1同时成立并无矛盾。注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。颇具喜剧色彩的错误众所周知，1+2+3+…+n=n(n+1)/2让我们用n-1去替换n，可得1+2+3+…+(n-1)=(n-1