第七章 参数估计12211

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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计第七章参数估计2008年大纲考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计2008年大纲考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性。4．理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。一、点估计统计推断有两类基本问题：当分布函数形式为已知，如为，但分布函数中

2、的部分参数为未知时，我们根据已知的构造一个统计量（8个枢轴量之一，选择方法参考第六章相关部分）作为的近似值，则称为的参数估计，简称参数估计；当分布函数形式为未知，或只知道分布函数中的形式，所有参数为未知时，我们先假设它的形式或参数值，然后再根据8个枢轴量之一判断其真实，则一过程称为假设检验，详细假设检验思想参阅第八章。简单地说，先有理论值，再用试验样本值来估计，叫参数估计；先有试假设值，再用试验样本值和8个枢轴量之一来检验，看是符合小概率原理，叫假设检验。参数估计中，由来自总体的一个样本观测值去近似代替总体分布中的未知参数值，称为点估计；如要求估计该近似值的精确程度，即估计误差时，称为区间

3、估计。如是总体的待估参数，为总体的一个样本观测值，把作为的估计量，称点估计，分为矩估计与极大似然法两种。1、矩估计法简单地说，用样本的各阶矩作为总体分布函数中的未知矩的估计。具体操作过程如下：设总体的分布函数中含有未知参数，也是待估计量。又设为总体的个样本值，其样本的阶原点矩为6842009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应样本矩”的原则建立方程，即有由上面的个方程解出个未知数，代替，就是矩估计过程。评注矩估计具有传递性，如是的矩估计，则是的矩估计。一般来说，单参数使用一阶原点矩即数学期望来估计；双参数使用二阶原点矩即方差

4、来估计，对正态分布的估计除外，详见【例1】评注。【例1】，未知，试估计。解：是样本已知的则的矩估计量为：，。评注使用一阶矩估计数学期望，都是无偏的；使用二阶矩估计方差，就不一定无偏，例如，的矩估计量为或，但只有后者是无偏的。1、最大似然法它的基本思想是：“当我们用联合分布函数来估计总体参数时，应使得当参数取样本函数值时，所观察到的样本出现的概率最大”，具体操作如下①写出似然函数（连续型，为联合分布函数；离散型有：，为联合分布律）②为方便计算，取对数或③求解方程组解出取代，6842009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计也就是说，在处取得极大值。【例2】估计解：即的最大似然法

5、的估计量为。【例3】设，求的最大似然和矩估计。解：由于，分布密度为对于这类分布函数不连续的间断函数就不能求导取极值了，我们必须回到定义思想上去。因为，所以随减少而增大，但从看出，故的最大似然估计量为。3、点估计的3大评价标准3.1无偏性（没有系统误差）如则为的无偏估计量。例如：都具有无偏性，而是有偏的；无偏性没有传递性，如：。3.2有效性在都无偏的条件下，如则比更有效。6842009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计3.3一致性（相合性）为的一致估计量。一般来说，一致性是自动满足的，例如：当用估计时，根据辛钦大数定理，，或利用切贝雪夫不等式来验证相合性。【例3】试讨论正态分

6、布常用一阶矩和二阶矩估计的评价标准。解：已知点估计为，；，所以和都是的无偏估计量。又例如所以B2不是的无偏估计量；而故是的无偏估计量，这也是我们称为方差的理由。所以一般取为的估计量。●对正态总体，和Xi都是的无偏估计量故比Xi更有效。特别地：当时，总体方差的无偏估计量是，而不是●利用辛钦大数定理可以证明：是总体均值的一致估计量，S2及B2都是总体方差的一致估计量。由辛钦大数定理得：6842009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计【例4】设是取自总体的一个简单随机样本，则的矩估计量是（）解：选。分析如下是总体的二阶原点矩，其对应的矩估计量为样本的二阶原点矩，即。将它与四个选项

7、对比，显然不正确。将的式子化简，得评注：本题的另一种解法是把看成是总体的二阶中心矩与一阶原点矩的函数，利用，而与的矩估计量分别为和，因此，的矩估计量是。虽是的无偏估计量，但不是样本的二阶中心矩。二、区间估计1、置信度与置信区间前面的点估计是对总体进行了极其“精确”的估计，但由于样本的随机性，反而很难接近总体真实值，如果在某个区间估计，将更加合理，所以，人们往往不以得到近似值为满足，还要估计误差。6842009智轩考研数学