高等数学(上册)总复习题

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1、高等数学A（1）复习题一、函数与极限1．判断下列每个命题是否正确（1）若数列满足，则数列在的任一邻域之外（其中），数列中的点至多只有有限多个。（2）若数列满足:，且，则。（3）设，且，则存在，当时，有。（4）若函数的极限存在，则在的任一邻域内一定有界。（5）若函数在处没有定义，则极限一定不存在。2．设极限=5，求。3．求极限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。4．当时，下列无穷小量中哪些是与等价的无穷小量（Ａ）；　（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）。5．设当时，是比高阶的无穷小，求。6．求函数的间断点，并

2、说明类型（1）；（2）。67．设函数，讨论函数的间断点。8．设函数讨论函数在处的连续性和可导性。9．设函数在处连续、可导，求。10．设函数在上连续，，，证明：至少存在一点，使。11．设函数在区间上连续，且，证明：方程在区间[0，1]内有且仅有一个根。二、导数与导数的应用1．判断下列每个命题是否正确（1）函数在点处可导，则在点处连续。（2）函数在点处导数为零是在点取到极值的必要条件。（3）设函数有三阶连续导数，且满足：；则不是的极值。2．设，求。3．求导数（1）设，求，；（2）设，求；（3）设，求；6（4）设为可导函数，，

3、求；（5）设方程确定了函数，求，；（6）设，求；（7）设函数由决定，求。（8）设函数，求。4．已知物体的运动规律（米），求这物体运动的速度和加速度。5．求平面曲线在点（1，2）处的切线方程和法线方程。6．设函数在上连续，在内二阶可导，且，又，证明：至少存在一点7．当x>0时,证明不等式:。8．证明：当时，。9．讨论函数在区间的单调性并求极值。10．讨论函数的单调性、极值、函数曲线的凹凸性、拐点，并描绘函数的图形。.11．在抛物线段上求一点，使抛物线在该点的切线与直线所围成的三角形的面积最大。12．每天生产台收音机的总成本

4、为，该收音机是独家经营，市场需求规律是：，是每台收音机的价格（单位：元），问每天生产多少台时净收入最大？此时，每台收音机的价格应定为多少？三、不定积分与定积分1．设有连续的导函数，判别下列等式中哪些是正确的。（A）；（B）；6（C）；（D）。2．求下列积分（1）；（2）；（3）：（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。3．设，求．4．讨论反常积分的收敛性。5．已知是的一个原函数，，求。6．已知的一个原函数为，求7．已知连续函数满足方程，求。8．设，求。四、定积分应用：1．设平面图形由曲线与直线所围成，求

5、：（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形的周长。2．设平面图形由星形线所围成求：（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。63．计算由曲线和所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转一周所成的旋转体的体积。4．求对数螺线，的弧长；5．求对数螺线，和极轴所围图形的面积．6．求由曲线与所围公共部分的面积。7．已知质点以速度（米/秒）作直线运动，求质点从时间秒到时间秒内所经过的路程。8．一根直金属棒长5米，其密度函数（千克/米）（），求此金属棒的质量。9．高为10米，顶园半径为5米的正圆锥形水池装满水，

6、设水密度；求将水池内的水全部抽出所作的功10．半圆形闸门的半径为2（米），将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度；求闸门一侧所受的水压力。五、空间解析几何1．设，，求：（1）与，均垂直的单位向量；（2）；（3）向量的方向余弦。2．已知三角形的顶点为A、B、C，求此三角形的面积。3．平行四边形的两边为，，其中，并且，求：（1）；（2）平行四边形面积。4．求由平面上曲线绕轴旋转一周所得的曲面方程。5．求曲面与的交线在xOy平面上的投影曲线方程。66．求过点且平行于平面的平面方程。7．求过直线和点的平面方程。8．求点与平面

7、的距离。9．求直线与的夹角。10．判断直线与平面的位置关系。11．求过点且与平面垂直的直线方程。12．求过点且与直线平行的直线方程。13．求直线在平面上的投影直线方程。6