巧求最值问题八种方法

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1、巧求“最值”问题八种方法江西省井冈山市龙江中学（343600）刘定邦求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。一、利用配方求最值例1：若x,y是实数，则的最小值是。（1998年数学新蕾竞赛题）分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。原式==显然有(x-y)≥0,(x-3)≥0,(y-3)≥0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0时,得x=y=3时,代数式的值最小，最小是

2、1990；例2，设x为实数，求y=的最小值。分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x取值相同。由于y==,要求y的最小值，必须有x-1=0,且，解得x=1,于是当x=1时，y=的最小值是-1。二、利用重要不等式求最值例3：若xy=1,那么代数式的最小值是。(1997年全国初中数学竞赛试题)分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，==1所以：的最小值是1三、构造方程求最值例4：已知实数a、b、c满足：

3、a+b+c=2,第4页共4页abc=4.求a、b、c中的最大者的最小值.（2003年全国初中数学竞赛试题）分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。解：设c为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c,ab=,则a、b可以看作的两根，因为a、b是实数，所以，即,,得因为c是最大者,所以c的最小值是4.一、构造图形求最值例5:使取最小值的实数x的值为.（2006年全国初中数学竞赛试题）.分析:用一般方法很难求出代数式的最值,由于=,于是可构造图形,转化为:在x轴上求一点c(x,0),使它到两点A（0，2）

4、和B（8，4）的距离和CA+CB最小，利用对称可求出C点坐标，这样，通过构造图形使问题迎刃而解。解：=.于是构造如图所示。作A（0，2）关于x轴的对称点A′(0,-2),,令直线A′B的解析式为y=kx+b,则解得所以,令y=0,得.即C点的坐标是五、利用判别式求最值例6::求y=的最小值解：去分母可以整理出关于x的一元二次方程,,因为x为实数,所以△≥0得:4≤x≤6,解得,故y的最小值是4六、消元思想求最值例7：已知a、b、c为整数，且a+b=2006，c-a=2005，a

5、数学竞赛试题）第4页共4页分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数的形式，由题设可得b=2006-a，c=2005+a，将其代入原式得：a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a又a+b=2006,a、b均为整数，a

6、与有实根，所以有：,即，由根与系数的关系，得:　；即解得：把的值分别代入，　得，或（不成立）即，因为　所以于是有　　即因为a,b都是正整数，所以分别解得：经检验只有：符合题意.所以b的最小值为：第4页共4页八、利用函数的增减性求最值例9：设是方程的两个实根，当m为何值时，有最小值，并求这个最小值。解：因为方程有实根，所以△=,解得由根与系数的关系得：，于是=因为函数y=在时的值y随m的增大而减少，即m取最大值时y取最小值，由于方程有实数根的条件是，所以当时，有最小值，最小值为：==.第4页共4页