2014年中考数学压轴题精编--湖南篇(试题及答案)

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1、2014年中考数学压轴题精编—湖南篇2014年中考数学压轴题精编—湖南篇1．（湖南省长沙市）已知：二次函数y＝ax2＋bx－2的图象经过点（1，0），一次函数的图象经过原点和点（1，－b），其中a＞b＞0且a、b为实数．（1）求一次函数表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求

2、x1－x2

3、的范围．1．解：（1）∵一次函数过原点，∴设一次函数的表达式为y＝kx∵一次函数过（1，－b），∴－b＝k×1，∴k＝－b∴一次函

4、数的表达式y＝－bx3分（2）∵二次函数y＝ax2＋bx－2的图象经过点（1，0），∴0＝a＋b－2∴b＝2－a4分由得ax2＋2(2－a)x－2＝0①5分∵△＝4(2－a)2＋8a＝4(a－1)2＋12＞0∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解∴这两个函数的图象交于不同的两点6分（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解∴x1＋x2＝＝，x1x2＝－∴

5、x1－x2

6、＝＝＝＝（或由求根公式得出）8分∵a＞b＞0，b＝2－a，∴1＜a＜2令函数y＝(－1)2＋3，则当1＜a＜2时，y随

7、a增大而减小∴4＜(－1)2＋3＜129分∴2＜＜∴2＜

8、x1－x2

9、＜10分2．（湖南省长沙市）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．OyxCBAQP（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；322014年中考数学压轴题精编—湖南篇2014年中考数学压轴题精编—湖南篇（2）求证：四边形OPBQ的面积是

10、一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．2．解：（1）∵CQ＝t，OP＝t，CO＝8，∴OQ＝8－t∴S△OPQ＝(8－t)·t＝－t2＋t（0＜t＜8）3分（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝8×－×t－×8×(－t)＝5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于6分（3）当△OPQ

11、与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP7分∴＝，即＝，解得：t＝4经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑）此时P（，0）∵B（，8）且抛物线y＝x2＋bx＋c经过B、P两点OyxCBAQPMHN∴抛物线是y＝x2－x＋8，直线BP是y＝x－88分设M（m，m－8），则N（m，m2－m＋8）∵M是BP上的

12、动点，∴≤m≤∵y1＝x2－x＋8＝(x－)2∴抛物线的顶点是P（，0）又y1＝x2－x＋8与y2＝x－8交于P、B两点∴当≤m≤时，y2＞y19分322014年中考数学压轴题精编—湖南篇2014年中考数学压轴题精编—湖南篇∴

13、MN

14、＝

15、y2－y1

16、＝y2－y1＝(m－8)－(m2－m＋8)＝－m2＋m－16＝－(m－)2＋2∴当m＝时，MN有最大值是2，此时M（，4）设MN与BQ交于H点，则H（，7）∴S△BHM＝×3×＝∴S△BHM:S五边形QOPMH＝:(－)＝3:29∴当线段MN的长取最大值时，

17、直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3:2910分3．（湖南省岳阳市）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）求C′点的坐标；（2）求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；（4）抛物线上是否存在一点M，使得S△AMF:S△OAB＝16:3？若存在，

18、请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．yxBAO(D)G(C)(E)FC′图③yxBAO(E)G(C)(D)图①yxBAO(D)G(C)(E)C′图②3．解：（1）C′点的横坐标为2＋2×＝3，纵坐标为2×＝C′点的坐标为（3，）2分（2）∵抛物线过原点O（0，0），∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx把A（2，0），C′（3，）代入，得322014年中考数学压轴题精编—湖南篇2014年中考数学压轴题精编—湖南篇解得a＝，b＝－3分∴抛物