切比雪夫不等式及大数定律

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1、第五章切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大数定律第一节与大数定律(13)如何从理论上说明这一现象？这样作的理论依据是什么？问题1频率稳定性的问题事件A发生的频率在相同条件下进行n次重复试验，总是在[0,1]上的一个确定的常数p附近摆动，并且随着试验次数n的增大，越来越稳定地趋于p。问题2在精密测量时要反复测量然后再取平均值？引言:问题1就能得以解决.（1）对于问题1，要说明频率趋于常数p，自然会想到极限概念.如果能证明即对任意的存在正整数N，对于由于,其随机性使不论N取多大的值,请看下面的图示:（3）（2）因

2、此，只能求其次，去求证下面两式成立：为此,先来证明概率论中一个重要的不等式——切比雪夫不等式.或或一.切比雪夫不等式（4）（5）即有定理1（切比雪夫定理）设随机变量的数学期望方差存在，则对任意的有：证:仅就连续型随机变量的情形进行证明.设X的概率密度函数为则有证毕.方差为由切比雪夫不等式有:解:试估计X落在(80,120)内的概率.例1已知随机变量X的数学期望为例2在每次试验中事件A发生的概率为0.5.试用切比解：雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的的次数在450至550次之间的概率.设X表示事

3、件A在1000次独立试验中发生的次数,则：由切比雪夫不等式有：二.大数定律定理2用事件发生的频率的来近似地估计它的概率.贝努里大数定律说明，在相同条件下独立地重复做n次当n较大时，事件A发生的频率与在每的概率可任意地小（接近于0）.因此，在实践中可以通试验，次试验中发生的概率p之差的绝对值大于任意指定正数过反复试验，贝努里大数定律所以由切比雪夫不等式，证:有下式成立两边取极限，得对任意的切比雪夫大数定理定理3：证：由切比雪夫不等式，对任意有：从而：证毕.推论：推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平均值与

4、它的期望值之差的绝对值大于任意指定的小数的概率可任意地小.这一理论正好回答了问题2.即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值.当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测量的精度.