2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题二十 统计及其与概率的交汇问题

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1、专题二十统计及其与概率的交汇问题1.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解　(1)由题意得：10x＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18，∴x＝0.018.(2)成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝

2、3人，ξ的可能值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴ξ的分布列为ξ012P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.本部分主要考查随机抽样、样本估计总体、线性回归分析，独立性检验的简单应用，一般是选择题、填空题，试题难度中等或稍易．若以解答题出现，往往与概率、离散型随机变量的分布列交汇考查．在复习统计问题时，要紧紧抓住这些图表和方法，把图表的含义弄清楚，这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解，在弄清楚统计问题的基础上，要与概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差密切结合掌握.必备知识抽样方法抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三

3、种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围．[来源:学科网ZXXK]用样本估计总体(1)利用样本频率分布估计总体分布：①频率分布表和频率分布直方图；②总体密度曲线；③茎叶图．(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征：①众数、中位数；②样本平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i；③样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(xi－)2；④样本标准差s＝＝.线性回归方程方程＝bx＋a称为线性回归方程，其中b＝a＝－b；(，)称为样本中心点．独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样

4、本频数列联表(称为2×2列联表)为：2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝，P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828必备方法用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.解决与频率分布直方图有关的问题时，应正确理解已知数据的含义，掌握图表中各个量的意义．(2)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布

5、，以此估计总体分布．①总体期望的估计，计算样本平均值＝i；②总体方差(标准差)的估计：方差＝(xi－)2，标准差＝，方差(标准差)较小者较稳定.此类试题主要考查分层抽样、频率分布直方图、茎叶图、线性回归方程、平均数和方差的计算、以及识图能力、借助概率统计知识分析、解决问题的能力，均可单独命制一道小题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】►某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格

6、)为__________；平均分为__________．[审题视点]　　[听课记录][审题视点](1)由图可知甲、乙的成绩，再利用公式计算．用样本中及格的频率估计总体的及格率，以样本的平均数估计总体的平均数，即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总体的平均数．(1)C　[由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋

7、(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．](2)解析　及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.答案　75%　71(1)如果已知频率分布直方图，那么就用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率，用样本的均值估计总体的均值，根据频率分布图估