2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十九 概率、随机变量及其分布列

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1、专题十九概率、随机变量及其分布列1.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)答案：解　(1)由已知得2

2、5＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝.X的分布列为X[来源:学科网]11.522.53PX的数学期望为E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)

3、＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝×＋×＋×＝.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型，主要以解答题的方式考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用．本部分复习要从整体上，知识的相关关系上进行．离散型随机变量问题的核心是概率计算，而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心，在解题中要

4、充分分析事件之间的关系.必备知识互斥事件有一个发生的概率若A、B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＋P(A)＝1.相互独立事件与n次独立重复试验(1)若A1，A2，…，An是相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．(2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为1－p，那么在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为：Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)主干知识：随机变量的可能取值，分布列，期望，方差，二项分布，超几何分布，正态分布．(2)

5、基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…；②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn＋…；③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；④二项分布：ξ～B(n，p)，则P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．正态分布(1)若X服从参数为μ和σ2的正态分布，则可表示为X～N(μ，σ2)．(2)N(μ，σ2)的分布密度曲线关于直线x＝μ对称，该曲线与x轴所围成的图形的面积为1.(3)当X～N(μ，σ2)时，0.683＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)

6、，0.954＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，0.997＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)．以上三个概率值具有重要的应用，要熟记，不可混用．必备方法1．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答．2．相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时

7、就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．3．求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．互斥事件、相互独立事件的概率在求随机变量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，试题多来源于生活，考查阅读理解能力及对概率知识的应用能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相

8、独立，且都