黎曼函数的性质及其证明

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1、第!!卷第!期宝鸡文理学院学报"自然科学版#$%&’!!(%’!!))!年*月+%,-./&%01/%234%&&565%07-89/.:;<35.<5"(/8,-/&;<35.<5#+,.’!))!================================================================黎曼函数的性质及其证明>张丽?刘淳安"宝鸡文理学院数学系?陕西宝鸡@!A))@#摘要B从黎曼函数的简单特征入手讨论它的连续性C可积性C可导性?特别是证明了黎曼函数在区间D)?AE上处处不可导?并结合狄利克雷函数加以引申和推广F关键词B黎曼函数G特征G可导性中

2、图分类号BHA@I’A文献标识码B7文章编号BA))@JA!*A"!))!#)!J)A!KJ)!LMNOPMQRPSNTURPVWXXTYXZQRNXWX[QPRMOMN]P[^_7(‘a3?abc4d,.J/."e5f8’g/8d’?1/%234%&&’7-89h;<3’?1/%23@!A))@?;d/..i3?4d3./#jkSQMWZQB4%.83.,38l?3.856-/m3&38l/.::3005-5.83/m3&38l%0n35o/..0,.<83%./-5:39<,995:G59f5J<3/&&l?8d5.%.J:3005-5.83/m&5f-%f5-8359%.

3、D)?AE/-5f-%p5:?/.:e3-3

4、*A?使得+")?A#

5、J黎曼"n35o/..#函数和狄利克雷"e3-3

6、,A数F现在?我们讨论黎曼函数的简单性质?及其与的有理数只有??&??由定义要求?

7、?}

8、

9、

10、狄利克雷函数的区别F互质?所以这种数最多"

11、

12、,A#个?而它们所对应A黎曼函数的定义及简单特征A-A的函数值却都是?即y"#{"-{A?!?&?

13、定义称定义在区间D)?AE上的函数

14、

15、

16、-

17、,-y"z#{,A#F因为与"显然-与

18、互质时?

19、,-

20、

21、!A?当z{}"

22、?}为正整数?}为既约真分数#与

23、亦互质#关于直线z){A)!对称?故黎曼函数~

24、

25、

26、的第!个简单特征是")?当z{)?A和无理数".#黎曼函数在有理点的图象"见图A#关为黎曼函数F于直线z对称F){A)!从黎曼函数的定义可知?黎曼函数的值域是又由其值域#可看出?当

27、"自然数#变大时?AAAA集合#{$)????&??&’?其中

28、是大于A)

29、{y"})

30、#"})

31、

32、+")?A##在变小且以)为其!%I

33、等于!的正整数?因此?黎曼函数的第一个简单特极限?因而y"z#的最大值为A)!F所以对/0*征是B)"01A)!#?使得y"z#y"})

34、#{A)

35、*0的区间"(#黎曼函数是区间D)?AE上的有界函")?A#中的有理数z只有有限个?即

36、只能在!2数?其上确界是A)!?下确界是)?其值域只有一

37、2DA)0E中取值?因而黎曼函数的第%个简单特个?聚点是)?它也是数列$A)

38、’的极限点?其中

39、征是B>收稿日万方数据期B!))AJA!J)*作者简介B张丽"A3@IJ#?女?陕西宝鸡人?助教?研究方向B基础数学F)+[宝鸡文理学院学报!自然科学版#+’

40、’+年!"#$%&!’()*+#(使得KJ.4-JA)F?(-JA?5!J.)(+(<(=F)#+=F)=F)=,!-#.,!/*0#.)*01%于是LMJNOJ.LMJNKJFLMJNIJ;的区间!’()#中的有理数只有有限多个2J.)J.)J.)=F)=这3个简单特征(特别是!"#(在讨论黎曼函L%NKJFLNIJ;%F=P+?;+%数的性质时十分有用2J.)J.)故黎曼函数,!-#在区间4’()5上是黎曼可积的2命题3黎曼函数,!-#在区间4’()5中每一点都不可导2证首先(由推论知(黎曼函数,!-#在区间!’()#中有理点不连续(因而不可导2其次(当-’&!’()#是无理

41、点时(欲使,!-#在-’可导(即要,!Q#A,!-’#极限678!)#Q9-’QA-’存在(注意到,!-若Q是区间!’(’#.’(R&!’()#图)黎曼函数在有理点的图象)#中的无理点列(且当QR9-’!R9S#时(由于+黎曼函数的性质,!QR#.’(所以!)#式的极限显然是’(这就是命题)对$-’&4’()5(成立678,!-#.说(若,!-#在-’这个无理点可导(须有它的导数-9-’,T!-’#.’(但事实并非如此2’!当-.’()时(考虑单侧极限#2设无理点-可表成无限不循