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1、第22卷第2期宝鸡文理学院学报(自然科学版)Vol.22No.22002年6月JournalofBaojiCollegeofArtsandScience(NaturalScience)Jun.2002X黎曼函数的性质及其证明张丽,刘淳安(宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721007)摘要:从黎曼函数的简单特征入手讨论它的连续性、可积性、可导性,特别是证明了黎曼函数在区间[0,1]上处处不可导,并结合狄利克雷函数加以引申和推广。关键词:黎曼函数;特征;可导性中图分类号:O174.1文献标识码:A文章编号
2、:100721261(2002)0220125202PropertiesofRiemannfunctionandtheirprovedZHANGLi,LIUChun2an(Dept.Math.,BaojiColl.Arts&Sci.,Baoji721007,Shannxi,China)Abstract:Continuity,integrabilityanddifferentiabilityofRiemannfunctionarediscussed;espe2cially,thenon2differ
3、entiablepropertieson[0,1]areproved,andDirichlet'sfunctioniscomparatedwithit.Keywords:Riemannfunction;properties;differentiabilityMSC2000:26A27在数学分析上,有两个无法用解析法、列表为自然数。法或图象法表示,只能用言语来描述的特殊函数q其次,对任何自然数p>1,使得∈(0,1)2黎曼(Riemann)函数和狄利克雷(Dirichlet)函p12p-1数。现在,
4、我们讨论黎曼函数的简单性质,及其与的有理数只有,,⋯,,由定义要求,p,qppp狄利克雷函数的区别。互质,所以这种数最多(p-1)个,而它们所对应1黎曼函数的定义及简单特征1i1的函数值却都是,即R()=(i=1,2,⋯,p定义称定义在区间[0,1]上的函数pppip-iR(x)=-1)。因为与(显然i与p互质时,p-ipp1qq,当x=(p,q为正整数,为既约真分数)与p亦互质)关于直线x0=1ö2对称,故黎曼函数ppp的第2个简单特征是0,当x=0,1和无理数(Ê)黎曼函数在有理点的图象(见图
5、1)关为黎曼函数。于直线x0=1ö2对称。从黎曼函数的定义可知,黎曼函数的值域是又由其值域E可看出,当p(自然数)变大时,1111集合E={0,2,3,4,⋯,p,⋯},其中p是大于1öp=R(qöp)(qöp∈(0,1))在变小且以0为其等于2的正整数,因此,黎曼函数的第一个简单特极限,因而R(x)的最大值为1ö2。所以对PE>征是:0(E<1ö2),使得R(x)R(qöp)=1öp>E的区间(É)黎曼函数是区间[0,1]上的有界函(0,1)中的有理数x只有有限个,即p只能在2≤数,其上确界是1
6、ö2,下确界是0,其值域只有一p≤[1öE]中取值,因而黎曼函数的第3个简单特个,聚点是0,它也是数列{1öp}的极限点,其中p征是:X收稿日期:2001212206作者简介:张丽(19742),女,陕西宝鸡人,助教,研究方向:基础数学。126宝鸡文理学院学报(自然科学版)2002年(Ë)PE∈(0,1ö2),使得Jk=[xk-1+D,xk-D](k=1,2,⋯,N+1)2N+1N+1NR(x)=R(qöp)=1öp>E于是∑Xk$Rk=∑Xk$Jk+∑Xk$Ik≤的区间(0,1)中的有理数只有有
7、限多个。k=1k=1k=1N+1N这3个简单特征,特别是(Ë),在讨论黎曼函∑E$Jk+∑$Ik≤E+Nõ2D≤2E数的性质时十分有用。k=1k=1故黎曼函数R(x)在区间[0,1]上是黎曼可积的。命题3黎曼函数R(x)在区间[0,1]中每一点都不可导。证首先,由推论知,黎曼函数R(x)在区间(0,1)中有理点不连续,因而不可导。其次,当x0∈(0,1)是无理点时,欲使R(x)在x0可导,即要R(y)-R(x0)极限lim(1)y→x0y-x0存在,注意到R(x0)=0,若yn∈(0,1)是区间(
8、0,图1黎曼函数在有理点的图象1)中的无理点列,且当yn→x0(n→∞)时,由于2黎曼函数的性质R(yn)=0,所以(1)式的极限显然是0,这就是命题1对Px0∈[0,1],成立limR(x)=x→x0说,若R(x)在x0这个无理点可导,须有它的导数0(当x=0,1时,考虑单侧极限)。R′(x0)=0,但事实并非如此。证PE>0,不妨设E<1ö2,因为使设无理点x0可表成无限不循环小数R(qöp)=1öp>E的p至多有有限个,即p只能x0=0.a1a2⋯anan+1⋯取2≤p≤[1
