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1、第七章向量代数与空间解析几何本章的教学与考试基本要求：1.理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法,会求单位向量,方向余弦,向量在坐标轴上的投影；2.会求两向量的数量积、向量积，掌握两向量平行、垂直的条件；3.会求平面方程、一般方程、会判定平面的垂直、平行；4.会求直线的对称式方程、参数方程，会判定两直线平行、垂直，会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）；5.了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图．7.1空间直角坐标系一、主要内容回顾坐标系过空间一定点，按右手法则作三条相互垂直的数轴：轴（
2、横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），这样的三条坐标轴称为一个空间直角坐标系，点称为坐标原点．坐标面由任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面，其中⑴由轴与轴所确定的平面称为坐标面．⑵由轴与轴所确定的平面称为坐标面．⑶由轴和轴所确定的平面称为坐标面．卦限三个坐标面将空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限,分别称为第I至第VIII卦限．点坐标空间上任意点在三条坐标轴上的投影在各自轴上的坐标记为,则点与有序数组建立了一一对应关系，称为点的坐标，点称为以为坐标的点．距离公式设，为空间两点，则与之间的距离为.二、基本考试题型及配套例题题型I选择题（1）
3、点到轴的距离=()．A BCD（2）点在第卦限．AIBIVCVDVIII解（1）选D．点在轴上的投影为,故点到轴的距离为.（2）选D.题型II计算题(1)求关于点的对称点．(2)在第三卦限内求一点M，已知它与三个坐标轴的距离分别为,,．解(1)设对称点,由中点公式得．19解得=-3,=7,=0，即所求点的坐标为．（2）设所求点为，点在轴、轴、轴上的投影分别为A,B,C，则即有解得．因为在第III卦限内，故所求点的坐标为（-6，-4，3）．题型III证明题试证以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．证因因为，且，故为等腰直角三角形．三
4、、习题选解（习题7-1）3．求点与原点及各坐标轴之间的距离．解．点在轴、轴、轴上的投影分别为、、，故点到各坐标轴的距离分别为．4．求点关于各坐标面、坐标轴、坐标原点的对称点的坐标．解点关于面的对称点是();关于面的对称点是();关于面的对称点是()．点关于轴的对称点是();关于轴的对称点是();关于轴的对称点是()．点关于坐标原点的对称点是()．6.在平面上，求与三个点，和等距离的点．解设所求点为，其坐标为,按题意有，即即亦即解得．故所求点的坐标为．197.2向量代数一、主要内容回顾向量的概念既有大小又有方向的量，称为向量．（1）与
5、起点位置无关而只与大小和方向有关的向量，称为自由向量．（2）向量的大小（或长度），称为向量的模．（3）模为1的向量，称为单位向量．（4）模为0的向量，称为零向量，记作０．（5）与大小相等方向相反的向量称为的负向量，记作．（6）若两向量模相等方向相同,则与相等．（7）若与方向相同或相反，则称与平行，记作//．向量的线性运算（1）把向量的起点移到向量的终点，则以的起点为起点b的终点为终点的向量,称为与的和向量，记做.（2）向量的减法：若把两向量与移到同一起点，则从的终点向的终点引向量，即是与的差．（3）向量与数的乘法:实数与向量的乘积是
6、一个向量，记做,它的模为：
7、=
8、
9、
10、
11、方向为如下规定：当时，与同向；当时,与反向；当时,为零向量．性质设为实数⑴⑵⑶()=()=()⑷()=,()=+⑸设b是非零向量，则存在实数,使．二、基本考试题型及配套例题题型I判断题⑴与非零向量同向的单位向量只有1个.⑵与非零向量共线的单位向量只有1个.解⑴对..⑵错.与非零向量共线的单位向量有两个为.题型II选择题⑴设为非零向量，且,则必有（）A B C D (2)设向量相平行，但方向相反，则当时，必有（）A B CD解(1)选C.当为非零向量，且，则以为两邻边的平行四边形是矩形。而矩形的两
12、条对角线长度相等，故必有．19(2)选A.以及为三条边的三角形的边长，必须满足关系式.但是，当互相平行，方向相反，且时，必有．题型III证明题如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试应用向量证明它是平行四边形证明设四边形中与交于，如右图由条件知因为所以是平行四边形．（如图）三、习题选解（习题7-2）1.设，试用来表示．解3.把的边五等分，设分点依次为，再把各分点与点A连接，试以,表示向量、、、．解如右图所示（如图）7.3向量的坐标表示法一、主要内容回顾向量的坐标表示（1）向量的坐标表示式：.（2）向量按基本向量的分解式：分别称为在轴
13、上的分向量.向量运算的坐标表示设，，则（1），（2），（3），（4）当时，；；（其中为的方向角），（5）当时，与同向的单位向量为=二、考试题型及配套例题题型I判断题(1)是单位向量；19(2)是单位向量；(3)与三坐标轴的正向夹角相等
