freekaoyan线代知识点总结-数学一

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1、线性代数知识点、难点1、阶行列式的定义对于阶行列式的定义，重点应把握两点：一是每一项的构成，二是每一项的符号。每一项的构成是不同行不同列的个元素构成，一个阶行列式共有项。乘积项为的符号取决于的逆序数，即当为偶排列时取正号，当为奇排列时取负。例1行列式为二阶行列式，每一项由2个元素构成，第一项为，符号为正，第二项为1*2，符号为负。2、余子式和代数余子式余子式和代数余子式的概念容易出错，在计算中应注意。代数余子式，其中为余子式。一般这类题，重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用，所以考生一定要灵活掌握，掌握基本思想。下面请看一例：例2设行列式则第4行元素余子式之和的值为

2、__________【分析】部分考生答案为0。原因是将余子式和代数余子式混淆了。本题中第四行元素的代数余子式之和为0。因为。3、行列式按一行（列）展开23设，则或注意：公式中使用的是代数余子式，而不是余子式。4、行列式的计算行列式的基本计算方法有三个：例21归化利用行列式的性质将行列式化成较简单且易于计算的行列式（如三角行列式等）；例22降阶利用行列式的展开定理，将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。在实际计算过程中，往往两种方法交替使用：先利用性质将某行（列）化出尽可能多的零元素，再用按行（列）展开定理进行降阶。注意，在化零元素的过程中，尽量不要出现分式，否则，计算过程往往

3、会变得相当繁琐。例23递推在降阶中找出高阶行列式与低阶行列式（，通常是）的关系，即递推公式，利用递推公式递推求得。例1记行列式为，则方程的根的个数为＿。解析问方程有几个根，也就是问是的几次多项式。不要错误地认为这样的一定是4次多项式，其实适当选系数可构造出0至4任一次数的多项式。由于行列式的每一个位置都含有，若立即展开处理是不妥的，应当先利用性质恒等变形消去一些再展开。将第1列的-1倍依次加至其余各列，有易见23是二次多项式。例1＿。解析方法1方法2解本例的方法有典型性，大家应熟练掌握。5、矩阵的概念矩阵的行数和列数不一定相等。行数和列数相等的矩阵称为方阵。：矩阵和矩阵必须

4、具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等。如。只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算。矩阵的数乘表示对矩阵中的每一个元素都乘以。注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列。矩阵的乘法必须要求的列数等于的行数。矩阵的乘法一般不满足交换律，即。例如：，，。对于某些矩阵，即使与23都有意义，它们仍不一定相等。如，，与都有意义，但为矩阵，而为矩阵，显然不相等。当和均为矩阵时，。行列式是数，可以交换。有矩阵乘积，不能推出或。等价地说，且，有可能使，如上例。矩阵的乘法不满足消去律，即时，有，但。只有当为非奇异矩阵，即时，若，则必有。若，则必有。例5设4阶矩阵，，其

5、中是4维列向量，且，，则＿。解析本题考查矩阵运算与行列式的性质。由于，所以部分考生将矩阵运算与行列式的性质混淆，得出错误结论。例6设是3阶方阵，是的伴随矩阵，的行列式，求行列式的值。解析本题同样考查矩阵运算与行列式的性质。由于，故，故不少考生把错误地写成，把错误地写成。6、关于23是考研中常见的一种题型，也是考生比较畏惧的一种题型。它的特点是题干简单，已知较少，所以考生有时候觉得无从下手，其实所有的题都是由基本东西转换而来的，考生要掌握其基本思路。下面举两例说明：例5设是阶非0矩阵，满足，且，证明行列式。【证法一】（反证法）若，那么可逆。用左乘的两端，得与矛盾，故。【证法二

6、】（用秩）据已知有，那么因为，即，那么秩从而秩，故。【证法三】（用有非零解）据已知有，即的列向量是齐次方程组的解，又因，所以有非零解，从而。注解是考研题中一个常见的已知条件，对于应当有两种思路：设是矩阵，是矩阵，若，则（1）的列向量是齐次方程组的解（2）例6设为阶矩阵，满足，，证明。【证明】因为所以又因于是故必有7、伴随矩阵伴随矩阵是线代中比较重要的概念，也是一个常考的点，出题点多结合逆矩阵，所以考生在深刻掌握伴随矩阵概念的同时，应该熟记一些和伴随有关的公式定理，这类型题一般解法较多比较灵活，考生应熟记它的定义和基本性质，以不变应万变。涉及伴随矩阵的计算或证明问题一般可从公

7、式及伴随矩阵的相关结论着手分析。以下结论可以直接使用：23例5设为阶非零矩阵，是的伴随矩阵，当时，证明。证明由，及，有。若，则，设的行向量为，则，即，于是，与已知矛盾，故。例6设矩阵满足，其中是的伴随矩阵，若为三个相等的正数，则=＿。解析题设与的伴随矩阵有关。由，及，有，且或，而，于是，且。8、逆矩阵涉及两个矩阵是否可交换，考虑用逆矩阵的定义进行分析。例7设阶方阵满足关系式，其中是阶单位阵，则下列哪些正确？1、2、3、4、5、解析把题目和矩阵的逆矩阵联系起来。若，则说明，，故，。逆矩阵的计算一般有三种方法：（1）；