摆动法测量转动惯量

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1、Ⅲ基础物理实验–69–实验4 用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1.学习掌握对长度和时间的较精确的测量;2.掌握重力加速度的方法,并加深对刚体转动理论的理解;3.学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图4-1(单摆球的质量为m)当球的半径远小于摆长时,应用动量矩定理,在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为:图4-1单摆原理(4-1)式中t为时间,g为重力加速度,为摆长。当(rad)很小时,(4-2)则(4-1)式可简化为:(4-3)令(4-4)(4-3)式的解为:(4-5)式中,由初值条件所决定。周期(4-6)Ⅲ基础物理实验–69

2、–2.物理摆图4-2物理摆(复摆)一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2,设物理摆的质心为C,质量为M,悬点为O,绕O点在铅直面内转动的转动惯量为,OC距离为,在重力作用下,由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为(4-7)令(4-8)仿单摆,在很小时,(4-7)式的解为:(4-9)(4-10)设摆体沿过质心C的转动惯量为,由平行轴定理可知:(4-11)将(4-11)代入(4-10)可得:(4-12)(4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T和(4-13)式右端各参变量之间的关系。实验就是围绕(4-12)式而展开的。因为对任何都有∝,因此(4-13)式的T与M无关,仅与M

3、的分布相关。令,称为回转半径,则有(4-13)①一次法测重力加速度Ⅲ基础物理实验–69–由(4-12)式可得出(4-14)测出(4-14)右端各量即可得;摆动周期T,用数字计时器直接测出,M可用天平称出,C点可用杠杆平衡原理等办法求出,对于形状等规则的摆,可以计算出。②二次法测一次法测虽然简明,但有很大的局限性,特别是对于不规则物理摆,就难以确定,为此采用如下“二次法”测:当M及其分布(C点)确定以后,改变h值,作两次测T的实验,运用(4-13)式于是有即(4-15)(4-16)联立解(4-15)、(4-16)式,可得出(4-17)这样就消去了,所以(4-17)测就有着广泛的适用性。

4、从(4-17)式,更可十分明确地看到T与M的无关性。虽然,任意两组(,),(,)实测值,都可以由(4-17)式算出;但是,对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组(,)数据,使能得出最精确的Ⅲ基础物理实验–69–的实测结果呢?为此必须研究()关系:将(4-12)式平方,于是可得出(4-18)从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线:当h趋于0时T→∞,当h→∞,T亦趋于∞;可见在h的某一处一定有一个凹形极小值。为此,对(4-18)作一次求导并令其为0;即由可得(4-19)(4-20)即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量,即h=a处所相应的T为极小值(为什么?)。

5、(注意:体会称a为回转半径的含义)将(4-13)式取二次导数图4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系为研究T(h)关系特在0.6m长的扁平摆杆上,间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔以作为O点的Hi值(i=±1,±2,±3,……±14)于是可得出如图4-3所示的曲线。在共轭的A,B二极小T值点以上,沿任一Th画一条直线,交图线于C,D,E,F四点;皆为等T值点,错落的两对等T值间的距离(hD+hE)=hC+hF被称为等值单摆长。为理解这一点,将(4-17)式的T1与TE(或TD)对应,T2与TF(或TC)对应,h1为与T1Ⅲ基础物理实验–69–对应的hE,h2为与T2对应的hF

6、,并将(4-17)式改形为:(4-22)(4-22)与(4-17)的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。从(4-22)可知,当T1=T2(=T)时,即化为单摆形式的公式(4-6),故称(hE+hF)、(hC+hD)为等值单摆长。从(4-20)式可知:==;而aX2=hE+h1从图4-3可知,A,B二共轭点为T(h)的极小值点,若在它附近取二个h值来计算则将引起较大的误差。所以欲取得精确的的测量值,就只能取最大的F点和相应的E点来计算值。因孔的非连续性,E只能取TE近乎于TF的点代入(4-22)式。还可取略大、略小的两组值都计算出再取平均。A或B在实验上虽然不利于测量出较精确的,但运

7、行在TB(或TA)值下的摆,其性能最稳定。③可倒摆为提高测的精度,历史上在对称结构的物理摆的摆杆上,加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C点随即被改变,图4-3的图线也随之改变,特别是TC(即T1),TF(即T2)所相应的hC(即h1),hF(即h2)也随之改变。但曲线的形状依归。所以,用此时的T(=TF=TC)和h1(=hC),h2(=hF)按(4-22)式来计算出。当然,由于摆杆孔的非连续性,所以仅能用TC≈TF的实测值,这时(4-2

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