天津市大学生数学竞赛试题2012理工

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1、2012年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空题（共15分，每空3分）1．设，则极限．（）2．设函数连续切不等于，又，则．（）3．半径为的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜，则流出的水量．（）4．设函数可微，且，又设平面区域，则．（）5．给定曲线积分，其中为光滑的简单闭曲线，取正向．当曲线的方程为时，的值最大．（）二、单项选择题（共15分，每空3分）1．设函数有连续导数，，又设时，与是同阶无穷小，则（）．(D)（A）（B）（C）（D）2．设函数在点的一个邻域内有定义，且满足，则有（）．(B)（A）在点处不一

2、定可导（B）在点处可导，且（C）在点处可导，且（D）在点处取得极小值3．设连续函数在区间和上的图形分别是直径为1的上半圆周和下半圆周，在区间和上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果，那么函数非负的范围是（）．(A)（A）整个（B）仅为（C）仅为（D）仅为4．设函数在区间上连续，且．记，，，则（）．(B)（A）（B）（C）（D）5．螺旋线（）上与平面平行的切线有（）．（B）（A）条（B）条（C）条（D）条三、设（），（），求极限．（本题7分）（，其中）四、设是的一个原函数，且，求积分．（本题7分）（，

3、其中）五、已知曲面上的点处的切平面平行于平面，求切平面的方程．（本题7分）（）六、求积分，其中为正整数．（本题7分）（，其中）七、设曲线与曲线和曲线的位置如图，是曲线上任一点，过点垂直于轴的直线与曲线和围成图形记为，过点垂直于轴的直线与曲线和围成图形记为．若和分别绕轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线的方程．（本题7分）（）八、一个半径为（）的小球嵌入一个半径为1的大球中，二球的交线恰好是一个半径为的圆周（如图），问当为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？．（本题7分）（，其中）九、设函数在区间上具有二

4、阶连续导数，，并且对于区间中的一切有．若积分存在，证明不等式．（本题7分）（提示：设的最大值为，在区间上对函数使用微分中值定理，然后再对积分缩小，其中区间与函数都缩小）十、设是以原点和三点为顶点的四面体．（1）将三重积分表示为“先次后”的三次积分；（2）试证明．（本题7分）（，提示：后者的证明将区域分成6个四面体，由对换性得）十一、设是沿抛物线由点到点的有向曲线，计算曲线积分．（本题7分）（，提示：用积分与路径无关，注意避开原点）十二、设密度为1的流体的流速为，曲面是由曲线（）绕轴旋转而成的旋转面，其法向量与周正向的夹角

5、为锐角，求单位时间内流体流向曲面正侧的流量．（本题7分）（，提示：补面用高斯公式，或用换坐标公式）