勾股定理及逆定理的应用_讲义

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1、中小学1对1课外辅导专家龙文教育学科教师辅导讲义学员：教师：陈玉芬日期：课题勾股定理及逆定理的应用教学目标1．运用勾股定理进行简单的计算和解决生活中的实际问题。2．通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质重点、难点重点：勾股定理及逆定理的应用难点：勾股定理在实际生活中的应用考点及考试要求1、勾股定理及其应用；2、勾股定理的逆定理的应用教学内容一．直角三角形的性质：　　（1）直角三角形两锐角互余。　　（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。　　（3）直角三角形中，30°

2、角所对的直角边是斜边的一半（互逆的）。　　（4）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。二．判定三角是直角三角形的方法：　　（1）一个角为直角。（2）两个锐角互余。　　（3）证明一个角等于其余两角的和或差。（4）勾股定理的逆定理。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1．已知，a∶b=3∶4，c=15，求a、b及斜边高线。　　　　　　　　　　　解：过C作CD⊥AB于D　　由a∶b=3∶4，∴设a=3k，则b=4k　　在Rt△ABC中，∠C=90°，c=15　　∴a2+b2=c

3、2（勾股定理）　　∴(3k)2+(4k)2=1524南昌龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家　　解得k=3（舍负）　　∴a=3k=9，b=4k=12　　又∵BC×AC=AB×CD（利用面积列公式）　　∴　　答：a=9，b=12，斜边高为7.2。　例2．已知，如图：分别以Rt△ABC三边为边向外做三个半圆，其面积分别为S1、S2、S3表示，S1、S2、S3之间的关系是什么？　　　　　　　　图一　　解：∵，，　　∴　　又∵在Rt△ABC中，a2+b2=c2　　∴，即S2+S3=S1例3．已知，如

4、图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB于E。　　求证：AC2=AE2―BE2。解题思路：连接AD，构造两个新的直角三角形。　　证明：连接AD。　　在Rt△ACD中，AC2=AD2―CD2　　在Rt△ADE中，AE2=AD2―DE2　　在Rt△DEB中，BE2=DB2―DE2　　∵右边=AE2―BE2=(AD2―DE2)―(DB2―DE2)=AD2―DB2　　又∵D是BC的中点∴DB=CD　　∴右边=AD2－CD2　　又∵左边=AC2=AD2－CD2　　∴左边=右边等式成立例4．（2006娄

5、底）如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB4南昌龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？　　解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC－x。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，　　∴。　　∵BD=0.5，　　∴在Rt△ECD中，　　∴2－x=1.5，x=0.5。即AE=0.5。　　答：梯子下滑0.5米。　

6、　例5．已知，如图，AB=AC=20，BC=32，∠DAC=90°，求BD的长。　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：作AE⊥BC于E，设BD=x　　∵AB=AC，AE⊥BC　　∴　　又∵BC=32∴BE=16　　∴DE=16―x，DC=32―x　　在Rt△AEC中，AE2=AC2―EC2　　在Rt△ADE中，AE2=AD2―DE2　　∴AC2―EC2=AD2―DE2（方程思想）　　在Rt△ADC中，又∵AD2=DC2－AC2　　∴AC2―EC2=DC2―AC2―DE2　　即202―162=(32

7、―x)2―202―(16―x)2　　解得x=7，即BD=7　　小结：此题利用方程思想和勾股定理求边长，由于在不同的Rt△中用勾股定理，故要分清每个Rt△中的直角边、斜边。练习题：4南昌龙文教育·教务管理部中小学1对1课外辅导专家1、如图所示是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，∠D=90°，AB=26米，BC=24米，求这块菜地的面积。ACBD2、如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，BC边的中线AD=4，求△ABC的面积第二题的图第一题的图3、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5

8、，AD=2，AC=3。求BC的长。QCPAB第四题的图4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边变作∠PBQ＝60°，BQ＝BP，连结CQ(1)、观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明猜想(2)、若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，说明理由5、（2010芜湖课改）如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示。已知展开图中每个正方形的边长为1。　　（1）求在该展开图中可画出最长